ଜ୍ୟାମିତି ଅଧ୍ୟାୟ ୧: ଜ୍ୟାମିତିରେ ସାଦୃଶ୍ୟ
Mathematics · Odisha Board Class 10 · ୧୦ ପ୍ରଶ୍ନ · ୨୫ Quiz
📖 ଏହି ଅଧ୍ୟାୟର ପୂର୍ଣ୍ଣ ଟିପ୍ପଣୀ — ଜଣେ ଶିକ୍ଷକ ଯେପରି ବୁଝାନ୍ତି, ସେହିପରି ସରଳ ଭାଷାରେ, ଚିତ୍ର ଓ ଉଦାହରଣ ସହ।
ପ୍ରଶ୍ନ: (a)(i) AB=2, BC=3, DE=3 ସେ.ମି. ⟹ EF?
ବୁଝାମଣା: AB/BC = DE/EF ⟹ 2/3 = 3/EF ⟹ EF = 4.5 ସେ.ମି.।
ଉତ୍ତର: EF = 4.5 ସେ.ମି.
ପ୍ରଶ୍ନ: (a)(ii) DE=6, EF=8, BC=6 ⟹ AC?
ବୁଝାମଣା: AB/6 = 6/8 ⟹ AB=4.5 ; AC=AB+BC=4.5+6=10.5।
ଉତ୍ତର: AC = 10.5 ସେ.ମି.
ପ୍ରଶ୍ନ: (b)(i) AB = 1.5×BC ⟹ EF/FD?
ବୁଝାମଣା: DE/EF=1.5 ⟹ DE=1.5EF ; FD=DE+EF=2.5EF ⟹ EF/FD=1/2.5=2/5।
ଉତ୍ତର: 2/5
ପ୍ରଶ୍ନ: (b)(ii) B, AC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ⟹ FD = ? × EF
ବୁଝାମଣା: AB=BC ⟹ DE=EF ⟹ FD=DE+EF=2EF।
ଉତ୍ତର: FD = 2 × EF
ପ୍ରମାଣ କର: ଚିତ୍ର 1.23 ରେ BG=AD, CH=BE ⟹ (i) DG:EH = DE:EF (ii) (DG+EH):EH = DF:EF।
ପ୍ରମାଣ: L₁‖L₂‖L₃ ⟹ DE/EF = AB/BC (ଛେଦିତାଂଶ ପ୍ରମେୟ) ; BG=AD, CH=BE ଦ୍ୱାରା DG=DE ଓ EH=EF ର ସମାନୁପାତ ପ୍ରତିଷ୍ଠା ⟹ DG:EH=DE:EF ; ଯୋଗ କରି (DG+EH):EH = DF:EF।
∴ ପ୍ରମାଣିତ।
ପ୍ରମାଣ କର: ଚିତ୍ର 1.24 ରେ AB=BC ⟹ 2BE = AD+CF।
ପ୍ରମାଣ: AD‖BE‖CF (∵ L₁‖L₂‖L₃) ⟹ ADFC ଏକ ଟ୍ରାପିଜିୟମ ; AB=BC ⟹ B ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ, ଓ DE=EF ⟹ E ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ; BE = ମଧ୍ୟମା = (AD+CF)/2 ⟹ 2BE = AD+CF।
∴ ପ୍ରମାଣିତ।
ପ୍ରଶ୍ନ: (i) ∠ABC=90°, BD⊥AC ⟹ m∠ABD = ?
ବୁଝାମଣା: ∠ABD = ∠DCB (ଉଭୟ = ∠BAD ର ପରିପୂରକ) ⟹ m∠DCB।
ଉତ୍ତର: m∠DCB
ପ୍ରଶ୍ନ: (ii)(a) AB² = AD × ?
ବୁଝାମଣା: AB² = AD × AC (ଜ୍ୟାମିତିକ ମାଧ୍ୟ)।
ଉତ୍ତର: AC
ପ୍ରଶ୍ନ: (ii)(b) BC² = AC × ?
ବୁଝାମଣା: BC² = AC × DC।
ଉତ୍ତର: DC
ପ୍ରଶ୍ନ: (ii)(c) BD² = DC × ?
ବୁଝାମଣା: BD² = AD × DC।
ଉତ୍ତର: AD
ପ୍ରଶ୍ନ: (i) QM=12, PM=6 ⟹ PR?
ବୁଝାମଣା: QM²=PM·MR ⟹ 144=6·MR ⟹ MR=24 ; PR=PM+MR=6+24=30।
ଉତ୍ତର: PR = 30 ସେ.ମି.
ପ୍ରଶ୍ନ: (ii) PQ=6, PM=3 ⟹ PR?
ବୁଝାମଣା: PQ²=PM·PR ⟹ 36=3·PR ⟹ PR=12।
ଉତ୍ତର: PR = 12 ସେ.ମି.
ପ୍ରଶ୍ନ: (iii) QR=12, MR=9 ⟹ PM?
ବୁଝାମଣା: QR²=MR·PR ⟹ 144=9·PR ⟹ PR=16 ; PM=16−9=7।
ଉତ୍ତର: PM = 7 ସେ.ମି.
ପ୍ରଶ୍ନ: (iv) PQ=12, RM=7 ⟹ PM?
ବୁଝାମଣା: PQ²=PM·PR=PM(PM+7)=144 ⟹ PM²+7PM−144=0 ⟹ PM=9।
ଉତ୍ତର: PM = 9 ସେ.ମି.
ପ୍ରଶ୍ନ: (v) PQ=8, QR=15 ⟹ QM ଓ MR?
ବୁଝାମଣା: PR=√(64+225)=17 ; QM=PQ·QR/PR=120/17 ; MR=QR²/PR=225/17।
ଉତ୍ତର: QM = 120/17, MR = 225/17 ସେ.ମି.
ପ୍ରଶ୍ନ: (i) BO ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
ବୁଝାମଣା: ΔBCD ରେ (∠C=90°), CO⊥BD ⟹ OC²=OB·OD ⟹ 36=OB·4 ⟹ OB=9।
ଉତ୍ତର: BO = 9 ସେ.ମି.
ପ୍ରଶ୍ନ: (ii) OA ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
ବୁଝାମଣା: ΔABC ରେ (∠B=90°), BO⊥AC ⟹ OB²=OA·OC ⟹ 81=OA·6 ⟹ OA=13.5।
ଉତ୍ତର: OA = 13.5 ସେ.ମି.
ପ୍ରଶ୍ନ: (iii) BC ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
ବୁଝାମଣା: ΔOBC (∠O=90°) ⟹ BC²=OB²+OC²=81+36=117 ⟹ BC=√117=3√13।
ଉତ୍ତର: BC = 3√13 ସେ.ମି.
ପ୍ରଶ୍ନ: (iv) AB ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
ବୁଝାମଣା: AC=OA+OC=19.5 ; AB²=OA·AC=13.5×19.5=263.25 ⟹ AB=9√13/2।
ଉତ୍ତର: AB = 9√13/2 ସେ.ମି.
ପ୍ରଶ୍ନ: (v) CD ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।
ବୁଝାମଣା: BD=OB+OD=13 ; CD²=OD·BD=4×13=52 ⟹ CD=√52=2√13।
ଉତ୍ତର: CD = 2√13 ସେ.ମି.
ପ୍ରଶ୍ନ: (i) ∠A=∠D, ∠B=∠E, AB=3, BC=5, DE=7.5 ⟹ EF?
ବୁଝାମଣା: BC/EF=AB/DE ⟹ 5/EF=3/7.5 ⟹ EF=12.5।
ଉତ୍ତର: 12.5 ସେ.ମି.
ପ୍ରଶ୍ନ: (ii) ΔABC(5,7,8), ΔPQR(PQ=10,QR=14) ⟹ PR (ସଦୃଶ)?
ବୁଝାମଣା: AB/PQ=1/2 ⟹ 8/PR=1/2 ⟹ PR=16।
ଉତ୍ତର: 16 ସେ.ମି.
ପ୍ରଶ୍ନ: (iii) ∠B=∠Q, AB=8, BC=12; PQ=12, QR=18; କ୍ଷେ ABC=48 ⟹ କ୍ଷେ PQR?
ବୁଝାମଣା: AB/PQ=BC/QR=2/3 (SAS) ⟹ କ୍ଷେ ଅନୁପାତ 4/9 ⟹ 48×9/4=108।
ଉତ୍ତର: 108 ବର୍ଗ ସେ.ମି.
ପ୍ରଶ୍ନ: (iv) ∠ABC ର ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକ AC କୁ P ରେ ; AB=12, BC=9 ⟹ AP:AC?
ବୁଝାମଣା: AP:PC=AB:BC=4:3 ⟹ AP:AC=4:7।
ଉତ୍ତର: 4:7
ପ୍ରଶ୍ନ: (v) ଦୁଇ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେ ଅନୁପାତ 16:25 ⟹ ବାହୁ ଅନୁପାତ?
ବୁଝାମଣା: √16:√25 = 4:5।
ଉତ୍ତର: 4:5
ପ୍ରଶ୍ନ: (vi) ∠B=50°, ∠BDC=100°, ΔDBC~ΔCBA ⟹ m∠ACD?
ବୁଝାମଣା: ∠DCB=30° ; ∠BCA=∠BDC=100° ⟹ ∠ACD=100−30=70°।
ଉତ୍ତର: 70°
ପ୍ରଶ୍ନ: (vii) [ABE]=[ACD] (ଚିତ୍ର 1.48) ⟹ ΔBOC ~ ?
ବୁଝାମଣା: DE‖BC ⟹ ପ୍ରତିମୁଖ କୋଣ ⟹ ΔBOC ~ ΔEOD।
ଉତ୍ତର: ΔEOD
ପ୍ରଶ୍ନ: (viii) AE⊥BC, BD⊥AC (ଚିତ୍ର 1.49) ⟹ ΔBEM ~ ?
ବୁଝାମଣା: ∠BEM=∠AEC=90°, ∠MBE=∠CAE=90°−∠C ⟹ ΔBEM ~ ΔAEC (କୋଣ ସେଟ୍ 90°,∠C,90°−∠C)।
ଉତ୍ତର: ΔAEC
ପ୍ରଶ୍ନ: (ix) D, BC ଉପରେ ; ∠ADC=∠BAC ⟹ CB·CD?
ବୁଝାମଣା: ΔCAD~ΔCBA ⟹ CA²=CB·CD ⟹ CB·CD=AC²।
ଉତ୍ତର: AC²
ପ୍ରଶ୍ନ: (x) ∠BAC ର ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକ BC କୁ M ରେ ; AB:AC=2:3, BC=15 ⟹ BM?
ବୁଝାମଣା: BM:MC=2:3 ⟹ BM=2/5×15=6।
ଉତ୍ତର: 6 ସେ.ମି.
ପ୍ରଶ୍ନ: (i) ΔABC(2.5,2,3.5), ΔPQR(5,4,7), ∠A=x°, ∠Q=y° ⟹ ∠B,∠C,∠P,∠R?
ବୁଝାମଣା: ବାହୁ ଅନୁପାତ ସମାନ (SSS) ⟹ A↔P,B↔Q,C↔R ⟹ ∠B=y°, ∠P=x°, ∠C=∠R=(180−x−y)°।
ଉତ୍ତର: ∠B=y°, ∠C=∠R=(180−x−y)°, ∠P=x°
ପ୍ରଶ୍ନ: (ii) ∠B=∠E, AB=4, BC=6, EF=9, DE=6, କ୍ଷେ ABC=20 ⟹ କ୍ଷେ DEF?
ବୁଝାମଣା: AB/DE=BC/EF=2/3 (SAS) ⟹ କ୍ଷେ ଅନୁପାତ 4/9 ⟹ 20×9/4=45।
ଉତ୍ତର: 45 ବର୍ଗ ସେ.ମି.
ପ୍ରଶ୍ନ: (iii) ପ୍ରଥମର କ୍ଷେ = ଦ୍ୱିତୀୟର 9 ଗୁଣ ⟹ ବାହୁ ଅନୁପାତ?
ବୁଝାମଣା: √9:√1 = 3:1।
ଉତ୍ତର: 3:1
ପ୍ରଶ୍ନ: (iv) ∠BAC=∠ADC, AC=12, BC=15, କ୍ଷେ ADC=32 ⟹ କ୍ଷେ ABD?
ବୁଝାମଣା: ΔABC~ΔDAC, AC/DC=BC/AC ⟹ DC=9.6 ; BD=5.4 ; କ୍ଷେ ABD/ADC=BD/DC=9/16 ⟹ 32×9/16=18।
ଉତ୍ତର: 18 ବର୍ଗ ସେ.ମି.
ପ୍ରଶ୍ନ: (v) ΔABC(5,7,9), ΔPQR~ΔABC, ପରିସୀମା PQR=63 ⟹ PQ,QR,PR?
ବୁଝାମଣା: ପରିସୀମା ABC=21, ଅନୁପାତ=63/21=3 ⟹ PQ=15, QR=21, PR=27।
ଉତ୍ତର: PQ=15, QR=21, PR=27
ପ୍ରଶ୍ନ: (vi) ΔABC~ΔPQR, AB=5, BC=12, AC=13, QR=8 ⟹ କ୍ଷେ PQR?
ବୁଝାମଣା: ABC ସମକୋଣୀ (5,12,13), କ୍ଷେ=30 ; (QR/BC)²=(8/12)²=4/9 ⟹ 30×4/9=40/3।
ଉତ୍ତର: 40/3 ବର୍ଗ ସେ.ମି.
ପ୍ରଶ୍ନ: (vii) ΔABC~ΔPQR, ପରିସୀମା ABC=60, କ୍ଷେ=81, ପରିସୀମା PQR=80 ⟹ କ୍ଷେ PQR?
ବୁଝାମଣା: ପରିସୀମା ଅନୁପାତ 60/80=3/4 ⟹ କ୍ଷେ ଅନୁପାତ 9/16 ⟹ 81×16/9=144।
ଉତ୍ତର: 144 ବର୍ଗ ସେ.ମି.
ପ୍ରମାଣ କର: ୩. ଦୁଇ ସଦୃଶ ତ୍ରିଭୁଜର (a) ଅନୁରୂପ ଉଚ୍ଚତା (b) କୋଣ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକ (c) ମଧ୍ୟମାର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଅନୁରୂପ ବାହୁ ସହ ସମାନୁପାତୀ।
ପ୍ରମାଣ: ସଦୃଶତାରୁ ଉଚ୍ଚତା/ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକ/ମଧ୍ୟମା ଥିବା ଉପ-ତ୍ରିଭୁଜ ଦ୍ୱୟ ମଧ୍ୟ ସଦୃଶ ⟹ ସେମାନଙ୍କ ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଅନୁପାତ = ଅନୁରୂପ ବାହୁର ଅନୁପାତ।
∴ ପ୍ରମାଣିତ।
ପ୍ରମାଣ କର: ୪. ଦୁଇ ସଦୃଶ ତ୍ରିଭୁଜର ପରିସୀମା ସମାନ ହେଲେ ସେମାନେ ସର୍ବସମ।
ପ୍ରମାଣ: ସଦୃଶ ⟹ ବାହୁ ଅନୁପାତ k ; ପରିସୀମା ଅନୁପାତ ମଧ୍ୟ k ; ପରିସୀମା ସମାନ ⟹ k=1 ⟹ ବାହୁ ସମାନ ⟹ ସର୍ବସମ।
∴ ପ୍ରମାଣିତ।
ପ୍ରମାଣ କର: ୫. ଦୁଇ ସଦୃଶ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସମାନ ହେଲେ ସେମାନେ ସର୍ବସମ।
ପ୍ରମାଣ: କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଅନୁପାତ = k² ; ସମାନ ⟹ k²=1 ⟹ k=1 ⟹ ବାହୁ ସମାନ ⟹ ସର୍ବସମ।
∴ ପ୍ରମାଣିତ।
ପ୍ରମାଣ କର: ୬. ସଦୃଶ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ଅନୁପାତ = (a) ଅନୁରୂପ ଉଚ୍ଚତା (b) କୋଣ-ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ବର୍ଗର ଅନୁପାତ ସହ ସମାନ।
ପ୍ରମାଣ: କ୍ଷେ ଅନୁପାତ = ବାହୁ ବର୍ଗ ଅନୁପାତ ; ଉଚ୍ଚତା/ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକ ଅନୁପାତ = ବାହୁ ଅନୁପାତ ⟹ କ୍ଷେ ଅନୁପାତ = ଉଚ୍ଚତା²/ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକ² ର ଅନୁପାତ।
∴ ପ୍ରମାଣିତ।
ପ୍ରଶ୍ନ: ୧. D, BC ଉପରେ, AD ∠BAC ର ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକ ⟹ କ୍ଷେ ΔABD : ΔADC?
ବୁଝାମଣା: ଉଭୟର ଉଚ୍ଚତା ସମାନ (A ରୁ) ⟹ କ୍ଷେ ଅନୁପାତ = BD:DC = AB:AC।
ଉତ୍ତର: AB : AC
ପ୍ରଶ୍ନ: ୨. ∠ABC ର ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକ AC କୁ D ରେ ; AB=4, BC=6, AC=5 ⟹ AD, CD?
ବୁଝାମଣା: AD:DC=AB:BC=2:3 ; AD=2/5×5=2, CD=3।
ଉତ୍ତର: AD=2, CD=3 ସେ.ମି.
ପ୍ରମାଣ କର: ୩. AB=c, BC=a, CA=b ; ∠ACB ର ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକ AB କୁ M ରେ ⟹ (i) AM=bc/(a+b) (ii) BM=ca/(a+b)।
ପ୍ରମାଣ: ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକ ⟹ AM:MB=CA:CB=b:a ; AM+MB=c ⟹ AM=b/(a+b)·c=bc/(a+b), BM=a/(a+b)·c=ca/(a+b)।
∴ ପ୍ରମାଣିତ।
ପ୍ରମାଣ କର: ୪(i). BP, AC ର ମଧ୍ୟମା ; ∠BPC ଓ ∠BPA ର ବହିଃସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକ BC, AB କୁ X, Y ରେ ଛେଦ ⟹ XY ‖ AC।
ପ୍ରମାଣ: ବହିଃସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକ ⟹ BX:XC=PB:PC ଓ BY:YA=PB:PA ; P ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ⟹ PA=PC ⟹ ଅନୁପାତ ସମାନ ⟹ (BPT ର ବିପରୀତ) XY‖AC।
∴ ପ୍ରମାଣିତ।
ପ୍ରମାଣ କର: ୪(ii). XY ‖ AC ହେଲେ P, AC ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ।
ପ୍ରମାଣ: XY‖AC ⟹ BX:XC=BY:YA ⟹ PB:PC=PB:PA ⟹ PA=PC ⟹ P ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ।
∴ ପ୍ରମାଣିତ।
ପ୍ରମାଣ କର: ୫. BP ମଧ୍ୟମା ; ∠APB ର ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକ PY (AB କୁ Y ରେ), Y ଦେଇ AC ‖ ରେଖା BC କୁ X ରେ ଛେଦ ⟹ PX, ∠BPC ର ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକ।
ପ୍ରମାଣ: PY ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକ ⟹ AY:YB=PA:PB ; YX‖AC ⟹ AY:YB=CX:XB ⟹ CX:XB=PA:PB=PC:PB (∵PA=PC) ⟹ PX, ∠BPC ର ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡକ।
∴ ପ୍ରମାଣିତ।
Extra practice questions (based on the textbook) — useful for exams.