ବୀଜଗଣିତ ଅଧ୍ୟାୟ ୬: ସ୍ଥାନାଙ୍କ ଜ୍ୟାମିତି
Mathematics · Odisha Board Class 10 · ୧୭ ପ୍ରଶ୍ନ · ୨୫ Quiz
ପ୍ରଶ୍ନ: (i) (0,0) ଓ (4,3)
ବୁଝାମଣା: √(16+9) = √25 = 5।
ଉତ୍ତର: 5
ପ୍ରଶ୍ନ: (ii) (0,2) ଓ (−6,2)
ବୁଝାମଣା: √(36+0) = 6।
ଉତ୍ତର: 6
ପ୍ରଶ୍ନ: (iii) (−3,0) ଓ (5,6)
ବୁଝାମଣା: √(64+36) = √100 = 10।
ଉତ୍ତର: 10
ପ୍ରଶ୍ନ: (iv) (2,4) ଓ (1,3)
ବୁଝାମଣା: √(1+1) = √2।
ଉତ୍ତର: √2
ପ୍ରଶ୍ନ: (v) (−2,−2) ଓ (−3,−5)
ବୁଝାମଣା: √(1+9) = √10।
ଉତ୍ତର: √10
ପ୍ରଶ୍ନ: (vi) (a,−b) ଓ (−a,b)
ବୁଝାମଣା: √(4a²+4b²) = 2√(a²+b²)।
ଉତ୍ତର: 2√(a²+b²)
ପ୍ରଶ୍ନ: (i) (0,1) ଓ (−1,0)
ବୁଝାମଣା: ଉଭୟର ଦୂରତା = 1 ⟹ ସମଦୂରବର୍ତ୍ତୀ।
ଉତ୍ତର: ସମଦୂରବର୍ତ୍ତୀ ✓
ପ୍ରଶ୍ନ: (ii) (2,3) ଓ (4, 3/2)
ବୁଝାମଣା: √13 ବନାମ √(73)/2 ⟹ ସମାନ ନୁହେଁ।
ଉତ୍ତର: ସମଦୂରବର୍ତ୍ତୀ ନୁହେଁ
ପ୍ରଶ୍ନ: (iii) (√7,√19) ଓ (−√7,−√19)
ବୁଝାମଣା: ଉଭୟ = √(7+19) = √26 ⟹ ସମଦୂରବର୍ତ୍ତୀ।
ଉତ୍ତର: ସମଦୂରବର୍ତ୍ତୀ ✓
ପ୍ରଶ୍ନ: (iv) (4,−2) ଓ (2,4)
ବୁଝାମଣା: ଉଭୟ = √20 ⟹ ସମଦୂରବର୍ତ୍ତୀ।
ଉତ୍ତର: ସମଦୂରବର୍ତ୍ତୀ ✓
ପ୍ରଶ୍ନ: (v) (0,4) ଓ (2,2)
ବୁଝାମଣା: 4 ବନାମ 2√2 ⟹ ସମାନ ନୁହେଁ।
ଉତ୍ତର: ସମଦୂରବର୍ତ୍ତୀ ନୁହେଁ
ପ୍ରଶ୍ନ: (i) A(3,3),B(9,0),C(12,21)
ବୁଝାମଣା: AB²=45, CA²=405, BC²=450 ; 45+405=450 ⟹ ସମକୋଣ A ଠାରେ।
ଉତ୍ତର: ସମକୋଣ A
ପ୍ରଶ୍ନ: (ii) A(1,1),B(3,4),C(0,6)
ବୁଝାମଣା: AB²=13, BC²=13, CA²=26 ; 13+13=26 ⟹ ସମକୋଣ B।
ଉତ୍ତର: ସମକୋଣ B
ପ୍ରଶ୍ନ: (iii) A(−1,−2),B(5,−2),C(5,6)
ବୁଝାମଣା: AB²=36, BC²=64, CA²=100 ; 36+64=100 ⟹ ସମକୋଣ B।
ଉତ୍ତର: ସମକୋଣ B
ପ୍ରଶ୍ନ: (iv) A(12,8),B(−2,6),C(6,0)
ବୁଝାମଣା: BC²=100, CA²=100, AB²=200 ; 100+100=200 ⟹ ସମକୋଣ C।
ଉତ୍ତର: ସମକୋଣ C
ପ୍ରଶ୍ନ: (v) A(1,6),B(5,−1),C(7,2)
ବୁଝାମଣା: BC²=13, CA²=52, AB²=65 ; 13+52=65 ⟹ ସମକୋଣ C।
ଉତ୍ତର: ସମକୋଣ C
ପ୍ରଶ୍ନ: (i) A(8,2),B(5,−3),C(0,0)
ବୁଝାମଣା: AB²=34, BC²=34 ⟹ AB=BC।
ଉତ୍ତର: ସମଦ୍ୱିବାହୁ ✓
ପ୍ରଶ୍ନ: (ii) A(0,6),B(−5,3),C(3,1)
ବୁଝାମଣା: AB²=34, CA²=34 ⟹ AB=CA।
ଉତ୍ତର: ସମଦ୍ୱିବାହୁ ✓
ପ୍ରଶ୍ନ: (iii) A(8,9),B(−6,1),C(0,−5)
ବୁଝାମଣା: AB²=260, CA²=260 ⟹ AB=CA।
ଉତ୍ତର: ସମଦ୍ୱିବାହୁ ✓
ପ୍ରଶ୍ନ: (iv) A(7,1),B(11,4),C(4,−3)
ବୁଝାମଣା: AB²=25, CA²=25 ⟹ AB=CA।
ଉତ୍ତର: ସମଦ୍ୱିବାହୁ ✓
ପ୍ରଶ୍ନ: (v) A(0,0),B(4,0),C(0,−4)
ବୁଝାମଣା: AB²=16, CA²=16 ⟹ AB=CA (ଓ ସମକୋଣ)।
ଉତ୍ତର: ସମଦ୍ୱିବାହୁ ✓
ପ୍ରଶ୍ନ: (vi) A(2,2),B(−2,4),C(2,6)
ବୁଝାମଣା: AB²=20, BC²=20 ⟹ AB=BC।
ଉତ୍ତର: ସମଦ୍ୱିବାହୁ ✓
ପ୍ରଶ୍ନ: (i) (1,1),(−1,−1),(−√3,√3)
ବୁଝାମଣା: ସବୁ ବାହୁ = 2√2 ⟹ ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ।
ଉତ୍ତର: ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ
ପ୍ରଶ୍ନ: (ii) (3,−3),(−3,3),(3√3,3√3)
ବୁଝାମଣା: ସବୁ ବାହୁ = 6√2 ⟹ ସମବାହୁ।
ଉତ୍ତର: ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ
ପ୍ରଶ୍ନ: (iii) (1,2),(3,4),(5,8)
ବୁଝାମଣା: 2√2, 2√5, 2√13 (ସବୁ ଭିନ୍ନ) ⟹ ବିଷମବାହୁ।
ଉତ୍ତର: ବିଷମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ
ପ୍ରଶ୍ନ: (iv) (1,2),(2,4),(3,5)
ବୁଝାମଣା: √5, √2, √13 (ଭିନ୍ନ) ⟹ ବିଷମବାହୁ।
ଉତ୍ତର: ବିଷମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜ
ପ୍ରଶ୍ନ: (v) (−2,3),(8,3),(6,7)
ବୁଝାମଣା: 10², √20², √80² ; 20+80=100 ⟹ ସମକୋଣୀ।
ଉତ୍ତର: ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ
ପ୍ରଶ୍ନ: (vi) (−6,−8),(−16,12),(−26,−18)
ବୁଝାମଣା: ଦୁଇ ବାହୁ 10√5 ସମାନ ଓ 500+500=1000 ⟹ ସମକୋଣୀ ସମଦ୍ୱିବାହୁ।
ଉତ୍ତର: ସମକୋଣୀ ସମଦ୍ୱିବାହୁ
ପ୍ରଶ୍ନ: (i) (−8,3),(−2,−1),(6,−2),(0,2)
ବୁଝାମଣା: ବିପରୀତ ବାହୁ ସମାନ ⟹ ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ର।
ଉତ୍ତର: ସାମାନ୍ତରିକ
ପ୍ରଶ୍ନ: (ii) (−2,−1),(1,0),(4,3),(1,2)
ବୁଝାମଣା: ବିପରୀତ ବାହୁ ସମାନ ⟹ ସାମାନ୍ତରିକ।
ଉତ୍ତର: ସାମାନ୍ତରିକ
ପ୍ରଶ୍ନ: (iii) (0,−1),(2,1),(0,3),(−2,1)
ବୁଝାମଣା: ସବୁ ବାହୁ ସମାନ, କର୍ଣ୍ଣ ସମାନ ⟹ ବର୍ଗ।
ଉତ୍ତର: ବର୍ଗ ଚିତ୍ର
ପ୍ରଶ୍ନ: (iv) (0,5),(−1,2),(−4,3),(−3,6)
ବୁଝାମଣା: ସବୁ ବାହୁ ସମାନ, କର୍ଣ୍ଣ ସମାନ ⟹ ବର୍ଗ।
ଉତ୍ତର: ବର୍ଗ ଚିତ୍ର
ପ୍ରଶ୍ନ: (v) (−2,3),(−4,−1),(−6,0),(−4,4)
ବୁଝାମଣା: ବିପରୀତ ବାହୁ ସମାନ, କର୍ଣ୍ଣ ସମାନ ⟹ ଆୟତ।
ଉତ୍ତର: ଆୟତ ଚିତ୍ର
ପ୍ରଶ୍ନ: ୭. P(1,1) ବିନ୍ଦୁ A(0,2), B(2,0), C(0,0) ଠାରୁ ସମଦୂରବର୍ତ୍ତୀ ପ୍ରମାଣ କର।
ବୁଝାମଣା: PA=PB=PC=√2 ⟹ ସମଦୂରବର୍ତ୍ତୀ।
ଉତ୍ତର: ପ୍ରମାଣିତ
ପ୍ରଶ୍ନ: ୮. C(x,3) ବିନ୍ଦୁ A(2,4), B(3,5) ଠାରୁ ସମଦୂର ⟹ x?
ବୁଝାମଣା: (x−2)²+1=(x−3)²+4 ⟹ 2x=8 ⟹ x=4।
ଉତ୍ତର: x = 4
ପ୍ରଶ୍ନ: ୯. P(2,y) ବିନ୍ଦୁ Q(−1,2) ଠାରୁ 5 ଏକକ ଦୂର ⟹ y?
ବୁଝାମଣା: 9+(y−2)²=25 ⟹ (y−2)²=16 ⟹ y=6 ବା −2।
ଉତ୍ତର: y = 6 ବା −2
ପ୍ରଶ୍ନ: ୧୦. A(1,1),B(2,2),C(3,3) ଏକରେଖୀୟ ପ୍ରମାଣ।
ବୁଝାମଣା: AB=√2, BC=√2, AC=2√2 ; AB+BC=AC ⟹ ଏକରେଖୀୟ।
ଉତ୍ତର: ପ୍ରମାଣିତ
ପ୍ରଶ୍ନ: ୧୧. A(1,4),B(−1,6),C(2,3) ଏକରେଖୀୟ ପ୍ରମାଣ।
ବୁଝାମଣା: AC=√2, AB=2√2, BC=3√2 ; AC+AB=BC ⟹ ଏକରେଖୀୟ।
ଉତ୍ତର: ପ୍ରମାଣିତ
ପ୍ରଶ୍ନ: ୧୨. (1,0),(2,−3),(−1,6) ଏକରେଖୀୟ ଓ (1,0) ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ପ୍ରମାଣ।
ବୁଝାମଣା: AB=√10, AC=2√10, BC=3√10 ; AB+AC=BC ⟹ (1,0) ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ।
ଉତ୍ତର: ପ୍ରମାଣିତ
ପ୍ରଶ୍ନ: ୧୩. x-ଅକ୍ଷ ଉପରେ (5,4) ଓ (−2,3) ଠାରୁ ସମଦୂର ବିନ୍ଦୁ?
ବୁଝାମଣା: (x−5)²+16=(x+2)²+9 ⟹ 14x=28 ⟹ x=2 ⟹ (2,0)।
ଉତ୍ତର: (2, 0)
ପ୍ରଶ୍ନ: ୧୪. O(0,0),A(1,2),B(3,8),C(3,−1) ⟹ AB=2CO ପ୍ରମାଣ।
ବୁଝାମଣା: AB=√40=2√10, CO=√10 ⟹ AB=2CO।
ଉତ୍ତର: ପ୍ରମାଣିତ
ପ୍ରଶ୍ନ: ୧୫. ସମବାହୁ ତ୍ରିଭୁଜର ଦୁଇ ଶୀର୍ଷ (0,3),(4,3) ⟹ ତୃତୀୟ ଶୀର୍ଷ?
ବୁଝାମଣା: ଭୂମି=4, ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ (2,3), ଉଚ୍ଚତା=2√3 ⟹ (2, 3±2√3)।
ଉତ୍ତର: (2, 3+2√3) ବା (2, 3−2√3)
ପ୍ରଶ୍ନ: (i) (1,−2) ଯଦି (4,2) ଓ (K,−6) ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ⟹ K?
ବୁଝାମଣା: (4+K)/2=1 ⟹ K=−2 (y: (2−6)/2=−2 ✓)।
ଉତ୍ତର: K = −2
ପ୍ରଶ୍ନ: (ii) (−2,3) ଓ (3,−2) ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ
ବୁଝାମଣା: ((−2+3)/2,(3−2)/2) = (1/2, 1/2)।
ଉତ୍ତର: (1/2, 1/2)
ପ୍ରଶ୍ନ: (iii) ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ମୂଳବିନ୍ଦୁ, ଏକ ପ୍ରାନ୍ତ (2,3) ⟹ ଅନ୍ୟ ପ୍ରାନ୍ତ?
ବୁଝାମଣା: (2×0−2, 2×0−3) = (−2, −3)।
ଉତ୍ତର: (−2, −3)
ପ୍ରଶ୍ନ: (iv) (0,2) ଓ (2,0) କୁ 2:1 ଅନୁପାତରେ ବିଭାଜନକାରୀ ବିନ୍ଦୁ
ବୁଝାମଣା: ବିଭାଜନ ସୂତ୍ର ⟹ ((2×2+1×0)/3, (2×0+1×2)/3) = (4/3, 2/3)।
ଉତ୍ତର: (4/3, 2/3)
ପ୍ରଶ୍ନ: (i) (3,4), (1,−2)
ବୁଝାମଣା: (2, 1)
ଉତ୍ତର: (2, 1)
ପ୍ରଶ୍ନ: (ii) (−1,3), (4,0)
ବୁଝାମଣା: (3/2, 3/2)
ଉତ୍ତର: (3/2, 3/2)
ପ୍ରଶ୍ନ: (iii) (1/2, 1/3), (1/3, 1/2)
ବୁଝାମଣା: (5/12, 5/12)
ଉତ୍ତର: (5/12, 5/12)
ପ୍ରଶ୍ନ: (iv) (0,−3), (−4,0)
ବୁଝାମଣା: (−2, −3/2)
ଉତ୍ତର: (−2, −3/2)
ପ୍ରଶ୍ନ: (v) (−1,−2), (3,−1)
ବୁଝାମଣା: (1, −3/2)
ଉତ୍ତର: (1, −3/2)
ପ୍ରଶ୍ନ: (vi) (a,b), (c,d)
ବୁଝାମଣା: ((a+c)/2, (b+d)/2)
ଉତ୍ତର: ((a+c)/2, (b+d)/2)
ପ୍ରଶ୍ନ: (vii) (−2,1), (−3,−4)
ବୁଝାମଣା: (−5/2, −3/2)
ଉତ୍ତର: (−5/2, −3/2)
ପ୍ରଶ୍ନ: (viii) (at₁², 2at₁), (at₂², 2at₂)
ବୁଝାମଣା: (a(t₁²+t₂²)/2, a(t₁+t₂))
ଉତ୍ତର: (a(t₁²+t₂²)/2, a(t₁+t₂))
ପ୍ରଶ୍ନ: (i) (h,−1), (2,k)
ବୁଝାମଣା: (h+2)/2=−1 ⟹ h=−4 ; (−1+k)/2=2 ⟹ k=5।
ଉତ୍ତର: h=−4, k=5
ପ୍ରଶ୍ନ: (ii) (5,3), (h,k)
ବୁଝାମଣା: 5+h=−2 ⟹ h=−7 ; 3+k=4 ⟹ k=1।
ଉତ୍ତର: h=−7, k=1
ପ୍ରଶ୍ନ: (iii) (1+h,k), (k,−h−1)
ବୁଝାମଣା: h+k=−3, k−h=5 ⟹ k=1, h=−4।
ଉତ୍ତର: h=−4, k=1
ପ୍ରଶ୍ନ: (iv) (h−k, k−h), (2h, 2k)
ବୁଝାମଣା: 3h−k=−2, 3k−h=4 ⟹ h=−1/4, k=5/4।
ଉତ୍ତର: h=−1/4, k=5/4
ପ୍ରଶ୍ନ: ୪. (0,0) ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ, ଏକ ପ୍ରାନ୍ତ (2,3) ⟹ ଅନ୍ୟ ପ୍ରାନ୍ତ?
ବୁଝାମଣା: (−2, −3)।
ଉତ୍ତର: (−2, −3)
ପ୍ରଶ୍ନ: ୫. ଏକ ପ୍ରାନ୍ତ (−2,4), ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ (1,2) ⟹ ଅନ୍ୟ ପ୍ରାନ୍ତ?
ବୁଝାମଣା: −2+x=2 ⟹ x=4 ; 4+y=4 ⟹ y=0।
ଉତ୍ତର: (4, 0)
ପ୍ରଶ୍ନ: ୬. ଏକ ପ୍ରାନ୍ତ (3,5), ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ (2,1) ⟹ ଅନ୍ୟ ପ୍ରାନ୍ତ?
ବୁଝାମଣା: 3+x=4 ⟹ x=1 ; 5+y=2 ⟹ y=−3।
ଉତ୍ତର: (1, −3)
ପ୍ରଶ୍ନ: ୭. (6,−2)&(2,−4) ଓ (x,1)&(−2,y) ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ସମାନ ⟹ x, y?
ବୁଝାମଣା: ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ (4,−3) ⟹ x=10, y=−7।
ଉତ୍ତର: x=10, y=−7
ପ୍ରଶ୍ନ: ୮. (2,3)&(1,4) କୁ 3:2 ଅନ୍ତର୍ବିଭାଜନ
ବୁଝାମଣା: ((3+4)/5, (12+6)/5) = (7/5, 18/5)।
ଉତ୍ତର: (7/5, 18/5)
ପ୍ରଶ୍ନ: ୯. (−2,3)&(5,−7) କୁ 3:4 ଅନ୍ତର୍ବିଭାଜନ
ବୁଝାମଣା: ((15−8)/7, (−21+12)/7) = (1, −9/7)।
ଉତ୍ତର: (1, −9/7)
ପ୍ରଶ୍ନ: ୧୦. (5,9) ବିନ୍ଦୁ (7,−3)&(4,k) କୁ 2:1 ବିଭାଜନ ⟹ k?
ବୁଝାମଣା: (2k−3)/3=9 ⟹ 2k=30 ⟹ k=15।
ଉତ୍ତର: k = 15
ପ୍ରମାଣ କର: ୧୧. ଯେକୌଣସି ତ୍ରିଭୁଜର ମଧ୍ୟମାତ୍ରୟ ଏକ ବିନ୍ଦୁଗାମୀ।
ପ୍ରମାଣ: ମଧ୍ୟମାତ୍ରୟର ଛେଦବିନ୍ଦୁ (ଭରକେନ୍ଦ୍ର) ପ୍ରତ୍ୟେକ ମଧ୍ୟମାକୁ 2:1 ରେ ବିଭାଜନ କରେ ⟹ ତିନି ମଧ୍ୟମା ଏକ ବିନ୍ଦୁରେ ମିଳନ୍ତି।
∴ ପ୍ରମାଣିତ।
ପ୍ରଶ୍ନ: ୧୨. (h,5),(−4,k),(8,9) ର ଭରକେନ୍ଦ୍ର (−2,6) ⟹ h, k?
ବୁଝାମଣା: (h+4)/3=−2 ⟹ h=−10 ; (14+k)/3=6 ⟹ k=4।
ଉତ୍ତର: h=−10, k=4
ପ୍ରଶ୍ନ: ୧୩. ଭରକେନ୍ଦ୍ର (1,1), A(3,−4), B(−4,7) ⟹ C?
ବୁଝାମଣା: (−1+x)/3=1 ⟹ x=4 ; (3+y)/3=1 ⟹ y=0।
ଉତ୍ତର: C = (4, 0)
ପ୍ରମାଣ କର: ୧୪. (−4,1),(3,−4),(1,3) ର ଭରକେନ୍ଦ୍ର ମୂଳବିନ୍ଦୁ।
ପ୍ରମାଣ: ((−4+3+1)/3, (1−4+3)/3) = (0, 0)।
∴ ପ୍ରମାଣିତ।
ପ୍ରଶ୍ନ: ୧୫. A(1,2),B(5,−4) ; AB ଉପରେ ବିନ୍ଦୁ ଯାହାର A ଠାରୁ ଦୂରତା = B ଠାରୁ 3 ଗୁଣ।
ବୁଝାମଣା: PA:PB=3:1 ⟹ ((15+1)/4, (−12+2)/4) = (4, −5/2)।
ଉତ୍ତର: (4, −5/2)
ପ୍ରଶ୍ନ: ୧୬. (1,5)&(7,2) ର ସମତ୍ରିଭାଜନ (trisection) ବିନ୍ଦୁ?
ବୁଝାମଣା: 1:2 ⟹ (3,4) ; 2:1 ⟹ (5,3)।
ଉତ୍ତର: (3, 4) ଓ (5, 3)
ପ୍ରମାଣ କର: ୧୭. O(0,0),A(2a,0),B(0,2b) ⟹ OAB ସମକୋଣୀ ଓ କର୍ଣ୍ଣ ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଶୀର୍ଷରୁ ସମଦୂର।
ପ୍ରମାଣ: O ଠାରେ ସମକୋଣ ; କର୍ଣ୍ଣ AB ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ M=(a,b) ; MO=MA=MB=√(a²+b²)।
∴ ପ୍ରମାଣିତ।
ପ୍ରମାଣ କର: ୧୮. ସାମାନ୍ତରିକ ଚିତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ପରସ୍ପରକୁ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡ କରନ୍ତି।
ପ୍ରମାଣ: A(0,0),B(a,0),C(a+b,c),D(b,c) ⟹ AC ଓ BD ର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଉଭୟ ((a+b)/2, c/2) ⟹ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡ।
∴ ପ୍ରମାଣିତ।
ପ୍ରମାଣ କର: ୧୯. ଆୟତ ଚିତ୍ରର କର୍ଣ୍ଣଦ୍ୱୟ ସର୍ବସମ ଓ ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡ।
ପ୍ରମାଣ: A(0,0),B(a,0),C(a,b),D(0,b) ⟹ AC=BD=√(a²+b²) (ସର୍ବସମ) ଓ ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଉଭୟ (a/2, b/2)।
∴ ପ୍ରମାଣିତ।
ପ୍ରଶ୍ନ: (i) ଶୀର୍ଷ (2,5),(−3,5),(0,5) ⟹ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ?
ବୁଝାମଣା: ସବୁ y=5 (ଏକରେଖୀୟ) ⟹ କ୍ଷେ = 0।
ଉତ୍ତର: 0
ପ୍ରଶ୍ନ: (ii) a = ? ⟹ (a,−2),(2,5),(2,10) ଏକରେଖୀୟ
ବୁଝାମଣା: (2,5),(2,10) ର x=2 ⟹ a=2 (area=0)।
ଉତ୍ତର: 2
ପ୍ରଶ୍ନ: (iii) y = ? ⟹ (−2,−2),(0,y),(3,3) ଏକରେଖୀୟ
ବୁଝାମଣା: ½|−5y|=0 ⟹ y=0।
ଉତ୍ତର: 0
ପ୍ରଶ୍ନ: (iv) k = ? ⟹ (k,−2),(1,4),(−2,7) ଏକରେଖୀୟ
ବୁଝାମଣା: ½|−3k+21|=0 ⟹ k=7 (area=0 ପ୍ରୟୋଗ)।
ଉତ୍ତର: k = 7
ପ୍ରଶ୍ନ: (v) a = ? ⟹ (4,−5),(1,a),(−2,7) ତ୍ରିଭୁଜ ହେବ ନାହିଁ (ଏକରେଖୀୟ)
ବୁଝାମଣା: ½|6a−6|=0 ⟹ a=1।
ଉତ୍ତର: a = 1
ପ୍ରଶ୍ନ: (i) (3,0),(4,5),(2,0)
ବୁଝାମଣା: ½|3(5)+4(0)+2(−5)| = ½|5| = 2.5।
ଉତ୍ତର: 2.5 ବର୍ଗ ଏକକ
ପ୍ରଶ୍ନ: (ii) (0,0),(1,0),(1,1)
ବୁଝାମଣା: ½|0+1+0| = 0.5।
ଉତ୍ତର: 0.5 ବର୍ଗ ଏକକ
ପ୍ରଶ୍ନ: (iii) (−2,1),(2,−3),(4,−4)
ବୁଝାମଣା: ½|−2−10+16| = 2।
ଉତ୍ତର: 2 ବର୍ଗ ଏକକ
ପ୍ରଶ୍ନ: (iv) (5,7),(6,4),(2,−5)
ବୁଝାମଣା: ½|45−72+6| = ½|−21| = 10.5।
ଉତ୍ତର: 10.5 ବର୍ଗ ଏକକ
ପ୍ରଶ୍ନ: (v) (5,2),(−1,3),(1,−2)
ବୁଝାମଣା: ½|25+4−1| = 14।
ଉତ୍ତର: 14 ବର୍ଗ ଏକକ
ପ୍ରମାଣ କର: (i) (1,1),(4,3),(−2,−1)
ପ୍ରମାଣ: ½|1(4)+4(−2)+(−2)(−2)| = ½|4−8+4| = 0।
∴ ଏକରେଖୀୟ (ପ୍ରମାଣିତ)।
ପ୍ରମାଣ କର: (ii) (−1,−5),(0,−3),(4,5)
ପ୍ରମାଣ: ½|(−1)(−8)+0+4(−2)| = ½|8−8| = 0।
∴ ଏକରେଖୀୟ (ପ୍ରମାଣିତ)।
ପ୍ରମାଣ କର: (iii) (1,4),(3,−2),(−3,16)
ପ୍ରମାଣ: ½|1(−18)+3(12)+(−3)(6)| = ½|−18+36−18| = 0।
∴ ଏକରେଖୀୟ (ପ୍ରମାଣିତ)।
ପ୍ରମାଣ କର: (iv) (−4a,−6a),(−a,−2a),(5a,6a)
ପ୍ରମାଣ: ½|32a²−12a²−20a²| = 0।
∴ ଏକରେଖୀୟ (ପ୍ରମାଣିତ)।
ପ୍ରମାଣ କର: (v) (−a,2b),(0,b),(a/2,b/2)
ପ୍ରମାଣ: ½|−ab/2 + 0 + ab/2| = 0।
∴ ଏକରେଖୀୟ (ପ୍ରମାଣିତ)।