Chapter 4: Probability (Algebra)

ପ୍ରଶ୍ନ: (i) ଗୋଟିଏ ଲୁଡୁ ଥରେ — "ଫଳ 8" ର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା

ବୁଝାମଣା: ଲୁଡୁରେ ସର୍ବାଧିକ 6 ; 8 ଅସମ୍ଭବ ⟹ P = 0।

ଉତ୍ତର: 0

ପ୍ରଶ୍ନ: (ii) ଗୋଟିଏ ଲୁଡୁ — "ଫଳ 7 ରୁ କମ୍" ର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା

ବୁଝାମଣା: 1,2,3,4,5,6 ସବୁ 7 ରୁ କମ୍ ⟹ ନିଶ୍ଚିତ ଘଟଣା।

ଉତ୍ତର: 1

ପ୍ରଶ୍ନ: (iii) ଗୋଟିଏ ଲୁଡୁ — "ଫଳ ≤ 3" ର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା

ବୁଝାମଣା: {1,2,3} ⟹ 3/6 = 1/2।

ଉତ୍ତର: 1/2

ପ୍ରଶ୍ନ: (iv) ମିଲି ଜିତିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା 0.62 ⟹ ଲିମା ହାରିବାର?

ବୁଝାମଣା: ମିଲି ଜିତିଲେ ଲିମା ହାରେ ⟹ P = 0.62।

ଉତ୍ତର: 0.62

ପ୍ରଶ୍ନ: (v) ଦୁଇ ମୁଦ୍ରା — "ଅଧିକମ୍‌ରେ ଗୋଟିଏ T" ର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା

ବୁଝାମଣା: S={HH,HT,TH,TT} ; ଅଧିକରେ 1 T = {HH,HT,TH} ⟹ 3/4।

ଉତ୍ତର: 3/4

ପ୍ରଶ୍ନ: (vi) ସମସ୍ତ ମୌଳିକ ଘଟଣାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତାର ସମଷ୍ଟି

ବୁଝାମଣା: ସର୍ବଦା = 1।

ଉତ୍ତର: 1

ପ୍ରଶ୍ନ: (vii) P(E) = 0.05 ⟹ P(Ē)?

ବୁଝାମଣା: P(Ē) = 1 − 0.05 = 0.95।

ଉତ୍ତର: 0.95

ପ୍ରଶ୍ନ: ମୁଦ୍ରାକୁ 30 ଥର ଟସ୍ କଲେ 16 ଥର H ⟹ P(H), P(T)?

ବୁଝାମଣା: P(H)=16/30=8/15 ; P(T)=14/30=7/15।

ଉତ୍ତର: P(H)=8/15, P(T)=7/15

ପ୍ରଶ୍ନ: ମୁଦ୍ରାକୁ 30 ଥର — H, T ର ଦୁଇଗୁଣ ⟹ P(H), P(T)?

ବୁଝାମଣା: H=2T, H+T=30 ⟹ T=10, H=20 ⟹ P(H)=2/3, P(T)=1/3।

ଉତ୍ତର: P(H)=2/3, P(T)=1/3

ପ୍ରଶ୍ନ: ଲୁଡୁ 30 ଥର: 1→4, 2→5, 3→6, 4→7, 5→8 ଥର ⟹ 6 ଆସିବାର P?

ବୁଝାମଣା: 6 ଆସିଲା = 30−(4+5+6+7+8)=0 ⟹ P=0।

ଉତ୍ତର: 0

ପ୍ରଶ୍ନ: 20 ଚାରା: 8 ବଞ୍ଚିଲା, ବାକି ମରିଗଲା ⟹ ଚାରା ମରିବାର P?

ବୁଝାମଣା: ମରିଲା = 12 ⟹ P = 12/20 = 3/5।

ଉତ୍ତର: 3/5

ପ୍ରଶ୍ନ: 100 ଛାତ୍ର: 1st=10, 2nd=15, 3rd=50, ବାକି ଫେଲ୍ ⟹ ପ୍ରତ୍ୟେକର P ଓ ସମଷ୍ଟି?

ବୁଝାମଣା: ଫେଲ୍=25 ⟹ P(1st)=1/10, P(2nd)=3/20, P(3rd)=1/2, P(fail)=1/4 ; ସମଷ୍ଟି=1।

ଉତ୍ତର: ସମଷ୍ଟି = 1

ପ୍ରଶ୍ନ: 40 ମଞ୍ଜି: 15 ଅଙ୍କୁରିତ, 10 ଅଙ୍କୁରିତ ହୋଇ ମରିଲା, ବାକି ଅଙ୍କୁରିତ ନାହିଁ ⟹ P?

ବୁଝାମଣା: ଅଙ୍କୁରିତ=25 ⟹ P(ଅଙ୍କୁରିତ)=25/40=5/8 ; P(ନ ଅଙ୍କୁରିତ)=15/40=3/8।

ଉତ୍ତର: P(ଅଙ୍କୁରିତ)=5/8, P(ନୁହେଁ)=3/8

ପ୍ରଶ୍ନ: ବ୍ୟାଗ: 3 ନୀଳ, 2 ଧଳା, 4 ଲାଲ ମାର୍ବଲ ⟹ P(ଧଳା), P(ନୀଳ), P(ଲାଲ)?

ବୁଝାମଣା: ମୋଟ=9 ⟹ P(ଧଳା)=2/9, P(ନୀଳ)=1/3, P(ଲାଲ)=4/9।

ଉତ୍ତର: ଧଳା 2/9, ନୀଳ 1/3, ଲାଲ 4/9

ପ୍ରଶ୍ନ: ବ୍ୟାଗ: 5 ଧଳା, 4 ଲାଲ, 3 କଳା ବଲ ⟹ (i) P(କଳା) (ii) P(ଲାଲ ନୁହେଁ) (iii) P(ଧଳା ନୁହେଁ)?

ବୁଝାମଣା: ମୋଟ=12 ⟹ (i)3/12=1/4 (ii)1−4/12=2/3 (iii)1−5/12=7/12।

ଉତ୍ତର: (i)1/4 (ii)2/3 (iii)7/12

ପ୍ରଶ୍ନ: 60 ବଲ୍‌ବ: 12 ଖରାପ, ବାକି ଭଲ ⟹ (i) P(ଭଲ) (ii) P(ଖରାପ)?

ବୁଝାମଣା: (i) 48/60=4/5 (ii) 12/60=1/5।

ଉତ୍ତର: (i)4/5 (ii)1/5

ପ୍ରଶ୍ନ: (i) ଘଟଣା φ ହେଲେ ଏହାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ଶୂନ୍ୟ।

ବୁଝାମଣା: P(φ)=0 ⟹ ଠିକ୍।

ଉତ୍ତର: ଠିକ୍

ପ୍ରଶ୍ନ: (ii) E = S ହେଲେ P(E) < 1।

ବୁଝାମଣା: P(S)=1, < 1 ନୁହେଁ ⟹ ଭୁଲ।

ଉତ୍ତର: ଭୁଲ

ପ୍ରଶ୍ନ: (iii) ଗୋଟିଏ ମୁଦ୍ରା ଥରେ ⟹ Sample Space ରେ 4 ଉପାଦାନ।

ବୁଝାମଣା: {H,T} = 2 ଉପାଦାନ ⟹ ଭୁଲ।

ଉତ୍ତର: ଭୁଲ

ପ୍ରଶ୍ନ: (iv) 'Probability' ରୁ 'i' ବାଛିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା 2/11।

ବୁଝାମଣା: 11 ଅକ୍ଷର, i ଦୁଇଥର ⟹ 2/11 ⟹ ଠିକ୍।

ଉତ୍ତର: ଠିକ୍

ପ୍ରଶ୍ନ: (v) E₁, E₂ ବହିର୍ଭୁକ୍ତ (mutually exclusive) ⟹ P ର ଯୋଗ 1।

ବୁଝାମଣା: କେବଳ ପରିପୂରକ ହେଲେ 1 ; ବହିର୍ଭୁକ୍ତ ମାତ୍ର ⟹ ଭୁଲ।

ଉତ୍ତର: ଭୁଲ

ପ୍ରଶ୍ନ: (vi) ଦୁଇ ଲୁଡୁ ⟹ ସାମ୍ପଲ ସ୍ପେସରେ 36 ଉପାଦାନ।

ବୁଝାମଣା: 6×6=36 ⟹ ଠିକ୍।

ଉତ୍ତର: ଠିକ୍

ପ୍ରଶ୍ନ: (vii) ମୁଦ୍ରା 3 ଥର ⟹ ସାମ୍ପଲ ସ୍ପେସରେ 3²=9 ଉପାଦାନ।

ବୁଝାମଣା: 2³=8, 9 ନୁହେଁ ⟹ ଭୁଲ।

ଉତ୍ତର: ଭୁଲ

ପ୍ରଶ୍ନ: (viii) 'Mathematics' ର ଅକ୍ଷର ସାମ୍ପଲ ସ୍ପେସ୍ {m,a,t,h,e,i,c,s}।

ବୁଝାମଣା: ଭିନ୍ନ ଅକ୍ଷର 8 ଟି ⟹ ଠିକ୍।

ଉତ୍ତର: ଠିକ୍

ପ୍ରଶ୍ନ: (ix) E₁, E₂ ବହିର୍ଭୁକ୍ତ ⟹ P(E₁∪E₂)=P(E₁)+P(E₂)।

ବୁଝାମଣା: ବହିର୍ଭୁକ୍ତ ⟹ ଠିକ୍।

ଉତ୍ତର: ଠିକ୍

ପ୍ରଶ୍ନ: (x) E₁={H} ର ପରିପୂରକ E₂={H,T}।

ବୁଝାମଣା: {H} ର ପରିପୂରକ {T} ⟹ ଭୁଲ।

ଉତ୍ତର: ଭୁଲ

ପ୍ରଶ୍ନ: ପ୍ରଶ୍ନ ୨: 4 ବହିର୍ଭୁକ୍ତ ଘଟଣା (∪ ନିଶ୍ଚିତ), ସମ-ସମ୍ଭାବ୍ୟ ⟹ ପ୍ରତ୍ୟେକର P?

ବୁଝାମଣା: P₁+P₂+P₃+P₄=1 ଓ ସମାନ ⟹ ପ୍ରତ୍ୟେକ = 1/4।

ଉତ୍ତର: ପ୍ରତ୍ୟେକ = 1/4

ପ୍ରଶ୍ନ: ପ୍ରଶ୍ନ ୩: ଗୋଟିଏ ଲୁଡୁ ⟹ (i)P(≤3) (ii)P(<3) (iii)P(≤4) (iv)P(<6) (v)P(≤6) (vi)P(>6)

ବୁଝାମଣା: (i)3/6=1/2 (ii)2/6=1/3 (iii)4/6=2/3 (iv)5/6 (v)6/6=1 (vi)0।

ଉତ୍ତର: 1/2, 1/3, 2/3, 5/6, 1, 0

ପ୍ରଶ୍ନ: ପ୍ରଶ୍ନ ୪: 'SCHOOL' ରୁ ଅକ୍ଷର S ବାଛିବାର P?

ବୁଝାମଣା: S,C,H,O,O,L = 6 ; S = 1 ⟹ P = 1/6।

ଉତ୍ତର: 1/6

ପ୍ରଶ୍ନ: ପ୍ରଶ୍ନ ୫: ଜାର: 5 ନାଲି, 6 ସବୁଜ, 4 ନୀଳ ⟹ P(ସବୁଜ)?

ବୁଝାମଣା: ମୋଟ=15 ⟹ 6/15 = 2/5।

ଉତ୍ତର: 2/5

ପ୍ରଶ୍ନ: ପ୍ରଶ୍ନ ୬: ଲୁଡୁ — E = "ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା" ⟹ P(E)?

ବୁଝାମଣା: {2,4,6} ⟹ 3/6 = 1/2।

ଉତ୍ତର: 1/2

ପ୍ରଶ୍ନ: ପ୍ରଶ୍ନ ୭: ଲୁଡୁ — "ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା" ⟹ P?

ବୁଝାମଣା: {1,3,5} ⟹ 3/6 = 1/2।

ଉତ୍ତର: 1/2

ପ୍ରଶ୍ନ: ପ୍ରଶ୍ନ ୮: ଲୁଡୁ — E = "ଫଳ ≤ 5" ⟹ P(E)?

ବୁଝାମଣା: {1,2,3,4,5} ⟹ 5/6।

ଉତ୍ତର: 5/6

ପ୍ରଶ୍ନ: ପ୍ରଶ୍ନ ୯: (i) ଅତି କମରେ ଗୋଟିଏ H (ii) କେବଳ T (iii) ଅତି ବେଶିରେ ଗୋଟିଏ H (iv) H ନ ରହିବା

ବୁଝାମଣା: (i){HH,HT,TH}=3/4 (ii){TT}=1/4 (iii){HT,TH,TT}=3/4 (iv){TT}=1/4।

ଉତ୍ତର: (i)3/4 (ii)1/4 (iii)3/4 (iv)1/4

ପ୍ରଶ୍ନ: ପ୍ରଶ୍ନ ୧୦: (i) କେବଳ T (ii) ଅତି କମରେ ଦୁଇ H (iii) ଅତି ବେଶିରେ ଦୁଇ T (iv) କେବଳ H ବା କେବଳ T (v) T ନ ଥିବା

ବୁଝାମଣା: (i){TTT}=1/8 (ii)4/8=1/2 (iii)1−1/8=7/8 (iv){HHH,TTT}=1/4 (v){HHH}=1/8।

ଉତ୍ତର: (i)1/8 (ii)1/2 (iii)7/8 (iv)1/4 (v)1/8

ପ୍ରଶ୍ନ: ପ୍ରଶ୍ନ ୧୧: (i) ଗୁଣଫଳ=6 (ii) ଯୋଗ=4 (iii) ଉଭୟ ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା (iv) ଯୋଗ≥10 (v) ଯୋଗ<6 (vi) ପ୍ରଥମ ଅଯୁଗ୍ମ ଓ ଦ୍ୱିତୀୟ 6

ବୁଝାମଣା: (i)4/36=1/9 (ii)3/36=1/12 (iii){1,4}⟹4/36=1/9 (iv)6/36=1/6 (v)10/36=5/18 (vi)3/36=1/12।

ଉତ୍ତର: (i)1/9 (ii)1/12 (iii)1/9 (iv)1/6 (v)5/18 (vi)1/12

ପ୍ରଶ୍ନ: ପ୍ରଶ୍ନ ୧୨: E₁,E₂ ବହିର୍ଭୁକ୍ତ, P(E₁)=2P(E₂), P(E₁)+P(E₂)=0.9 ⟹ P(E₁∪E₂), P(E₁)?

ବୁଝାମଣା: 3P(E₂)=0.9 ⟹ P(E₂)=0.3, P(E₁)=0.6 ; P(E₁∪E₂)=0.9।

ଉତ୍ତର: P(E₁∪E₂)=0.9, P(E₁)=0.6

ପ୍ରଶ୍ନ: ପ୍ରଶ୍ନ ୧୩: P(E₁)=5/8, P(E₂)=2/8, P(E₁∩E₂)=1/8 ⟹ (i)P(E₁∪E₂) (ii)P(E₁') (iii)P(E₂') (iv)P(E₁'∪E₂')

ବୁଝାମଣା: (i)5/8+2/8−1/8=3/4 (ii)3/8 (iii)6/8=3/4 (iv)De Morgan: 1−1/8=7/8।

ଉତ୍ତର: (i)3/4 (ii)3/8 (iii)3/4 (iv)7/8

ପ୍ରଶ୍ନ: ପ୍ରଶ୍ନ ୧୪: 'MATHEMATICS' ରୁ ଅକ୍ଷର A ବା T ବାଛିବାର P?

ବୁଝାମଣା: 11 ଅକ୍ଷର ; A(2)+T(2)=4 ⟹ 4/11।

ଉତ୍ତର: 4/11

ପ୍ରଶ୍ନ: ପ୍ରଶ୍ନ ୧୫: ଲୁଡୁ — 'ଫଳ 5 କିମ୍ବା ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା' ର P?

ବୁଝାମଣା: 5 ମଧ୍ୟ ଅଯୁଗ୍ମ ⟹ {1,3,5} ⟹ 3/6=1/2।

ଉତ୍ତର: 1/2

ପ୍ରଶ୍ନ: ପ୍ରଶ୍ନ ୧୬: ଲୁଡୁ — 'ଫଳ ଅଯୁଗ୍ମ କିମ୍ବା ଫଳ ≥ 3' ର P?

ବୁଝାମଣା: ଅଯୁଗ୍ମ{1,3,5} ∪ ≥3{3,4,5,6} = {1,3,4,5,6} ⟹ 5/6।

ଉତ୍ତର: 5/6