ବୀଜଗଣିତ ଅଧ୍ୟାୟ ୩: ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି
Mathematics · Odisha Board Class 10 · ୨୦ ପ୍ରଶ୍ନ · ୨୫ Quiz
ପ୍ରଶ୍ନ: (i) 1,2,3,4,... ରେ t₈
ବୁଝାମଣା: a=1, d=1 ⟹ t₈ = 1+7(1) = 8।
ଉତ୍ତର: (c) 8
ପ୍ରଶ୍ନ: (ii) 2,4,6,8,... ରେ t₇
ବୁଝାମଣା: a=2, d=2 ⟹ t₇ = 2+6(2) = 14।
ଉତ୍ତର: (b) 14
ପ୍ରଶ୍ନ: (iii) −5,−3,−1,1,... ରେ t₁₁
ବୁଝାମଣା: a=−5, d=2 ⟹ t₁₁ = −5+10(2) = 15।
ଉତ୍ତର: (b) 15
ପ୍ରଶ୍ନ: (iv) 3,6,9,... ର d
ବୁଝାମଣା: d = 6−3 = 3।
ଉତ୍ତର: (a) 3
ପ୍ରଶ୍ନ: (v) −4,−2,0,2,... ର d
ବୁଝାମଣା: d = −2−(−4) = 2।
ଉତ୍ତର: (c) 2
ପ୍ରଶ୍ନ: (vi) 10.2,10.4,10.6,10.8,... ରେ t₅
ବୁଝାମଣା: a=10.2, d=0.2 ⟹ t₅ = 10.2+4(0.2) = 11.0।
ଉତ୍ତର: (a) 11.0
ପ୍ରଶ୍ନ: (vii) 2.5,2.9,3.3,3.7,... ର d
ବୁଝାମଣା: d = 2.9−2.5 = 0.4।
ଉତ୍ତର: (d) 0.4
ପ୍ରଶ୍ନ: (viii) 3, x, 9,... A.P. ହେଲେ x
ବୁଝାମଣା: x = ମଧ୍ୟମ ପଦ = (3+9)/2 = 6।
ଉତ୍ତର: (c) 6
ପ୍ରଶ୍ନ: (ix) 1.01,1.51,2.01,2.51,... ର d
ବୁଝାମଣା: d = 1.51−1.01 = 0.5।
ଉତ୍ତର: (b) 0.5
ପ୍ରଶ୍ନ: (x) 5,0,−5,−10,... ର d
ବୁଝାମଣା: d = 0−5 = −5।
ଉତ୍ତର: (a) −5
ପ୍ରଶ୍ନ: କେଉଁ ଅନୁକ୍ରମ A.P.?
ବୁଝାମଣା: (ii) 1,8,15,22,29,36,43,50 → d=7 (ସ୍ଥିର) ; (vi) a,a+d,...,a+7d → d ସ୍ଥିର ; (viii) −7,−4,−1,2,5,8,11,14 → d=3 (ସ୍ଥିର)। ବାକି (i),(iii),(iv),(v),(vii) ରେ ଅନ୍ତର ସ୍ଥିର ନୁହେଁ।
ଉତ୍ତର: A.P. ହେଲା (ii), (vi), (viii)
ପ୍ରଶ୍ନ: ପ୍ରଶ୍ନ ୨ ର A.P. ଗୁଡ଼ିକର ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର
ବୁଝାମଣା: (ii) d = 8−1 = 7 ; (vi) d = d ; (viii) d = −4−(−7) = 3।
ଉତ୍ତର: (ii) 7, (vi) d, (viii) 3
ପ୍ରଶ୍ନ: (i) d=5
ବୁଝାମଣା: 5, 10, 15, 20
ଉତ୍ତର: 5, 10, 15, 20
ପ୍ରଶ୍ନ: (ii) d=4
ବୁଝାମଣା: 5, 9, 13, 17
ଉତ୍ତର: 5, 9, 13, 17
ପ୍ରଶ୍ନ: (iii) d=2
ବୁଝାମଣା: 5, 7, 9, 11
ଉତ୍ତର: 5, 7, 9, 11
ପ୍ରଶ୍ନ: (iv) d=−2
ବୁଝାମଣା: 5, 3, 1, −1
ଉତ୍ତର: 5, 3, 1, −1
ପ୍ରଶ୍ନ: (v) d=−3
ବୁଝାମଣା: 5, 2, −1, −4
ଉତ୍ତର: 5, 2, −1, −4
ପ୍ରଶ୍ନ: (i) tₙ = (n+1)/2
ବୁଝାମଣା: t₅=3, t₈=4.5, t₁₀=5.5
ଉତ୍ତର: t₅=3, t₈=4.5, t₁₀=5.5
ପ୍ରଶ୍ନ: (ii) tₙ = −10+2n
ବୁଝାମଣା: t₅=0, t₈=6, t₁₀=10
ଉତ୍ତର: t₅=0, t₈=6, t₁₀=10
ପ୍ରଶ୍ନ: (iii) tₙ = 10n+5
ବୁଝାମଣା: t₅=55, t₈=85, t₁₀=105
ଉତ୍ତର: t₅=55, t₈=85, t₁₀=105
ପ୍ରଶ୍ନ: (iv) tₙ = 4n−6
ବୁଝାମଣା: t₅=14, t₈=26, t₁₀=34
ଉତ୍ତର: t₅=14, t₈=26, t₁₀=34
ପ୍ରଶ୍ନ: (i) a=4, d=3
ବୁଝାମଣା: 7, 10, 13
ଉତ୍ତର: 2ୟ=7, 3ୟ=10, 4ର୍ଥ=13
ପ୍ରଶ୍ନ: (ii) a=−8, d=−2
ବୁଝାମଣା: −10, −12, −14
ଉତ୍ତର: −10, −12, −14
ପ୍ରଶ୍ନ: (iii) a=7, d=−4
ବୁଝାମଣା: 3, −1, −5
ଉତ୍ତର: 3, −1, −5
ପ୍ରଶ୍ନ: (iv) a=10, d=5
ବୁଝାମଣା: 15, 20, 25
ଉତ୍ତର: 15, 20, 25
ପ୍ରଶ୍ନ: (v) a=½, d=3/2
ବୁଝାମଣା: 2, 7/2, 5
ଉତ୍ତର: 2, 7/2, 5
ପ୍ରଶ୍ନ: (vi) a=½, d=−1
ବୁଝାମଣା: −½, −3/2, −5/2
ଉତ୍ତର: −½, −3/2, −5/2
ପ୍ରଶ୍ନ: (a) 1,2,3,4,... ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି ସୃଷ୍ଟି କରେ।
ବୁଝାମଣା: d=1 ସ୍ଥିର।
ଉତ୍ତର: ଠିକ୍
ପ୍ରଶ୍ନ: (b) 1,−1,1,−1,... ଏକ A.P.
ବୁଝାମଣା: ଅନ୍ତର −2,+2,... ସ୍ଥିର ନୁହେଁ।
ଉତ୍ତର: ଭୁଲ
ପ୍ରଶ୍ନ: (c) 2,1,−1,−2 ଚାରିଗୋଟି A.P. ରେ ଅଛନ୍ତି।
ବୁଝାମଣା: ଅନ୍ତର −1,−2,−1 ସ୍ଥିର ନୁହେଁ।
ଉତ୍ତର: ଭୁଲ
ପ୍ରଶ୍ନ: (d) tₙ = n−1 ଥିବା ଅନୁକ୍ରମ A.P.
ବୁଝାମଣା: d=1 ସ୍ଥିର।
ଉତ୍ତର: ଠିକ୍
ପ୍ରଶ୍ନ: (e) Sₙ = n(n−1)/2 ଥିବା ଅନୁକ୍ରମ A.P.
ବୁଝାମଣା: tₙ = Sₙ−Sₙ₋₁ = n−1 (ସ୍ଥିର d=1)।
ଉତ୍ତର: ଠିକ୍
ପ୍ରଶ୍ନ: (f) ତ୍ରିଭୁଜ କୋଣ 2:3:4 ⟹ କୋଣମାନ A.P.
ବୁଝାମଣା: 40°,60°,80° ⟹ ଅନ୍ତର 20° ସ୍ଥିର।
ଉତ୍ତର: ଠିକ୍
ପ୍ରଶ୍ନ: (g) ସମକୋଣୀ (equilateral) ତ୍ରିଭୁଜ ବାହୁ A.P. ରେ ରହିପାରେ।
ବୁଝାମଣା: ସମାନ ବାହୁ ⟹ d=0 ର A.P.।
ଉତ୍ତର: ଠିକ୍
ପ୍ରଶ୍ନ: (h) ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା A.P. ଗଠନ କରନ୍ତି ନାହିଁ।
ବୁଝାମଣା: 1,3,5,7,... d=2 ⟹ A.P. ଅଟେ, ତେଣୁ ଉକ୍ତି ଭୁଲ।
ଉତ୍ତର: ଭୁଲ
ପ୍ରଶ୍ନ: (i) 5 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା A.P.
ବୁଝାମଣା: 5,10,15,20,... d=5।
ଉତ୍ତର: ଠିକ୍
ପ୍ରଶ୍ନ: (j) 5,x,9 A.P. ରେ ⟹ x=6
ବୁଝାମଣା: ଠିକ୍ ମାନ x=(5+9)/2=7, ତେଣୁ x=6 ଭୁଲ।
ଉତ୍ତର: ଭୁଲ
ପ୍ରଶ୍ନ: (a) 1+2+3+... ର S₃₀
ବୁଝାମଣା: a=1,d=1 ⟹ 30/2[2+29]=15×31=465।
ଉତ୍ତର: 465
ପ୍ରଶ୍ନ: (b) 1+3+5+... ର S₁₀
ବୁଝାମଣା: a=1,d=2 ⟹ 5[2+18]=100।
ଉତ୍ତର: 100
ପ୍ରଶ୍ନ: (c) 2+4+6+... ର S₁₅
ବୁଝାମଣା: a=2,d=2 ⟹ 15/2[4+28]=15×16=240।
ଉତ୍ତର: 240
ପ୍ରଶ୍ନ: (d) 1−2+3−4+... ର S₃₀
ବୁଝାମଣା: ଯୋଡ଼ି (1−2)+(3−4)+... = (−1)×15 = −15।
ଉତ୍ତର: −15
ପ୍ରଶ୍ନ: (e) 1−2+3−4+... ର S₄₁
ବୁଝାମଣା: 20 ଯୋଡ଼ି = −20, + 41ତମ ପଦ = +41 ⟹ 21।
ଉତ୍ତର: 21
ପ୍ରଶ୍ନ: (f) 1+1+2+2+3+3+... ର S₁₇
ବୁଝାମଣା: = 2(1+2+…+8) + 9 = 72+9 = 81।
ଉତ୍ତର: 81
ପ୍ରଶ୍ନ: (g) 1+2+3+2+3+4+3+4+5+... ର S₃₉
ବୁଝାମଣା: 13 ଗୋଷ୍ଠୀ, ଗୋଷ୍ଠୀ k ର ଯୋଗ =3(k+1) ⟹ 3(91+13)=312।
ଉତ୍ତର: 312
ପ୍ରଶ୍ନ: (h) −7−10−13−... ର S₂₁
ବୁଝାମଣା: a=−7,d=−3 ⟹ 21/2[−14−60]=21×(−37)=−777।
ଉତ୍ତର: −777
ପ୍ରଶ୍ନ: (i) 10+6+2+... ର S₁₅
ବୁଝାମଣା: a=10,d=−4 ⟹ 15/2[20−56]=15×(−18)=−270।
ଉତ୍ତର: −270
ପ୍ରଶ୍ନ: (j) 20+9−2+... ର S₂₅
ବୁଝାମଣା: a=20,d=−11 ⟹ 25/2[40−264]=25×(−112)=−2800।
ଉତ୍ତର: −2800
ପ୍ରଶ୍ନ: (k) n+(n−1)+(n−2)+...+1 ର Sₙ
ବୁଝାମଣା: = 1+2+…+n = n(n+1)/2।
ଉତ୍ତର: n(n+1)/2
ପ୍ରଶ୍ନ: (l) 5+4⅓+3⅔+... ର S₂₀
ବୁଝାମଣା: a=5,d=−2/3 ⟹ 10[10−38/3]=10(−8/3)=−80/3।
ଉତ୍ତର: −80/3
ପ୍ରଶ୍ନ: (a) a=3, d=4, n=10 ⟹ Sₙ?
ବୁଝାମଣା: S₁₀ = 5[6+36] = 210।
ଉତ୍ତର: 210
ପ୍ରଶ୍ନ: (b) a=−5, d=−3 ⟹ S₁₇?
ବୁଝାମଣା: 17/2[−10−48] = 17×(−29) = −493।
ଉତ୍ତର: −493
ପ୍ରଶ୍ନ: (c) tₙ = 2n−1 ⟹ ପ୍ରଥମ 5 ପଦ
ବୁଝାମଣା: 1, 3, 5, 7, 9।
ଉତ୍ତର: 1, 3, 5, 7, 9
ପ୍ରଶ୍ନ: (d) tₙ = 3n+2 ⟹ S₆₁
ବୁଝାମଣା: a=5, d=3 ⟹ 61/2[10+180] = 61×95 = 5795।
ଉତ୍ତର: 5795
ପ୍ରଶ୍ନ: (e) tₙ = 3n−5 ⟹ S₅₀
ବୁଝାମଣା: a=−2, d=3 ⟹ 25[−4+147] = 25×143 = 3575।
ଉତ୍ତର: 3575
ପ୍ରଶ୍ନ: (f) tₙ = 2−3n ⟹ Sₙ?
ବୁଝାମଣା: a=−1, d=−3 ⟹ Sₙ = n(1−3n)/2।
ଉତ୍ତର: n(1−3n)/2
ପ୍ରଶ୍ନ: (g) Sₙ = n² ⟹ t₁₅?
ବୁଝାମଣା: tₙ = Sₙ−Sₙ₋₁ = 2n−1 ⟹ t₁₅ = 29।
ଉତ୍ତର: 29
ପ୍ରଶ୍ନ: (h) a=3, d=4, Sₙ=903 ⟹ n?
ବୁଝାମଣା: n(2n+1)=903 ⟹ 2n²+n−903=0 ⟹ n=21।
ଉତ୍ତର: 21
ପ୍ରଶ୍ନ: (i) d=2, S₁₅=285 ⟹ a?
ବୁଝାମଣା: 15(a+14)=285 ⟹ a+14=19 ⟹ a=5।
ଉତ୍ତର: 5
ପ୍ରଶ୍ନ: (j) t₁₅=30, t₂₀=50 ⟹ S₁₇?
ବୁଝାମଣା: 5d=20 ⟹ d=4, a=−26 ⟹ S₁₇ = 17×6 = 102।
ଉତ୍ତର: 102
ପ୍ରଶ୍ନ: (i)(a) 1 ରୁ 105 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା
ବୁଝାମଣା: 105×106/2 = 5565।
ଉତ୍ତର: 5565
ପ୍ରଶ୍ନ: (i)(b) 25 ରୁ 93
ବୁଝାମଣା: n=69 ⟹ 69/2(25+93) = 69×59 = 4071।
ଉତ୍ତର: 4071
ପ୍ରଶ୍ନ: (i)(c) 111 ରୁ 222
ବୁଝାମଣା: n=112 ⟹ 56×333 = 18648।
ଉତ୍ତର: 18648
ପ୍ରଶ୍ନ: (ii)(a) 1,2,3,... ର S₂₀ (b) S₅₀
ବୁଝାମଣା: S₂₀=20×21/2=210 ; S₅₀=50×51/2=1275।
ଉତ୍ତର: S₂₀=210, S₅₀=1275
ପ୍ରଶ୍ନ: (iii) 32 ରୁ 85 ର ସମଷ୍ଟି
ବୁଝାମଣା: n=54 ⟹ 27×117 = 3159।
ଉତ୍ତର: 3159
ପ୍ରଶ୍ନ: (iv) 100 ରୁ ଛୋଟ ସମସ୍ତ ଧନାତ୍ମକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା
ବୁଝାମଣା: 2+4+…+98, n=49 ⟹ 49×50 = 2450।
ଉତ୍ତର: 2450
ପ୍ରଶ୍ନ: (v) 150 ରୁ ଛୋଟ ସମସ୍ତ ଧନାତ୍ମକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା
ବୁଝାମଣା: 1+3+…+149, n=75 ⟹ 75×75 = 5625।
ଉତ୍ତର: 5625
ପ୍ରଶ୍ନ: ୧୧. a=17, d=−2 ର କେତୋଟି ପଦ ଯୋଗ କଲେ 72?
ବୁଝାମଣା: n(18−n)=72 ⟹ n²−18n+72=0 ⟹ n=6 ବା 12 (7ମରୁ 12ମ ପଦର ଯୋଗ 0 ହେତୁ ଦୁଇ ଉତ୍ତର)।
ଉତ୍ତର: n = 6 ବା 12
ପ୍ରଶ୍ନ: ୧୨(i). ତିନି ପଦ A.P. ରେ, ଯୋଗ 18, ଗୁଣ 192
ବୁଝାମଣା: 3a=18 ⟹ a=6 ; 6(36−d²)=192 ⟹ d²=4 ⟹ d=±2 ⟹ 4,6,8।
ଉତ୍ତର: 4, 6, 8
ପ୍ରଶ୍ନ: ୧୨(ii). ଛଅ ପଦ A.P., ପ୍ରାନ୍ତ ଦୁଇର ଯୋଗ 16, ମଧ୍ୟ ଦୁଇର ଗୁଣ 63
ବୁଝାମଣା: 2a=16 ⟹ a=8 ; a²−d²=63 ⟹ d²=1 ⟹ d=1 ⟹ 3,5,7,9,11,13।
ଉତ୍ତର: 3, 5, 7, 9, 11, 13
ପ୍ରଶ୍ନ: ୧୩. ତିନି ପଦ A.P., ଯୋଗ 21, ବର୍ଗର ଯୋଗ 155
ବୁଝାମଣା: 3a=21 ⟹ a=7 ; 147+2d²=155 ⟹ d²=4 ⟹ d=±2 ⟹ 5,7,9।
ଉତ୍ତର: 5, 7, 9
ପ୍ରଶ୍ନ: ୧୪. ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ବାହୁ A.P. ⟹ ଅନୁପାତ 3:4:5 ପ୍ରମାଣ କର।
ବୁଝାମଣା: ବାହୁ a−d, a, a+d ; (a−d)²+a²=(a+d)² ⟹ a²=4ad ⟹ a=4d ⟹ 3d:4d:5d = 3:4:5।
ଉତ୍ତର: ପ୍ରମାଣିତ — 3:4:5
ପ୍ରଶ୍ନ: ୧୫. 100 ରୁ ଛୋଟ 5 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ଧନାତ୍ମକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗ
ବୁଝାମଣା: 5,10,…,95, n=19 ⟹ 19×50 = 950।
ଉତ୍ତର: 950
ପ୍ରଶ୍ନ: ୧୬. 200 ରୁ ଛୋଟ 3 ଦ୍ୱାରା ଅବିଭାଜ୍ୟ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗ
ବୁଝାମଣା: (1+…+199) − (3 ର ଗୁଣିତ) = 19900 − 6633 = 13267।
ଉତ୍ତର: 13267
ପ୍ରଶ୍ନ: ୧୭. 15 କୁ ତିନି ଭାଗରେ (A.P.) ବିଭକ୍ତ କର ଯାହାର ଗୁଣଫଳ 120।
ବୁଝାମଣା: 3a=15 ⟹ a=5 ; 5(25−d²)=120 ⟹ d²=1 ⟹ d=±1 ⟹ 4,5,6।
ଉତ୍ତର: 4, 5, 6
ପ୍ରଶ୍ନ: ୧୮. ତିନି ପଦ A.P., ଯୋଗ 15, ପ୍ରାନ୍ତ ଦୁଇର ବର୍ଗ ଯୋଗ 58।
ବୁଝାମଣା: a=5 ; (5−d)²+(5+d)²=58 ⟹ 50+2d²=58 ⟹ d=±2 ⟹ 3,5,7।
ଉତ୍ତର: 3, 5, 7
ପ୍ରଶ୍ନ: ୧୯. ଚାରି ପଦ A.P., ମଧ୍ୟ ଦୁଇର ଯୋଗ 8, ମଧ୍ୟ ଦୁଇର ଗୁଣ 15।
ବୁଝାମଣା: 2a=8 ⟹ a=4 ; a²−d²=15 ⟹ d=1 ⟹ 1,3,5,7।
ଉତ୍ତର: 1, 3, 5, 7
ପ୍ରମାଣ କର: ତିନି A.P. ଶ୍ରେଣୀ (ପ୍ରଥମ ପଦ 1,2,3; ଅନ୍ତର 1,2,3) ର n ପଦ ଯୋଗ S₁,S₂,S₃ ⟹ S₁+S₃ = 2S₂।
ପ୍ରମାଣ: S₁=n(n+1)/2, S₂=n(n+1), S₃=3n(n+1)/2 ⟹ S₁+S₃ = 4n(n+1)/2 = 2n(n+1) = 2S₂।
∴ ପ୍ରମାଣିତ।
ପ୍ରମାଣ କର: A.P. ର p,q,r ତମ ପଦ a,b,c ⟹ a(q−r)+b(r−p)+c(p−q) = 0।
ପ୍ରମାଣ: a=A+(p−1)D ଆଦି ପକାଇଲେ A ର ଗୁଣାଙ୍କ = (q−r)+(r−p)+(p−q) = 0 ଓ D ର ଗୁଣାଙ୍କ ମଧ୍ୟ 0 ହୁଏ।
∴ ପ୍ରମାଣିତ।
ପ୍ରମାଣ କର: a,b,c A.P. ରେ ⟹ (i) 1/bc,1/ca,1/ab (ii) b+c,c+a,a+b (iii) b+c−a,c+a−b,a+b−c ମଧ୍ୟ A.P.।
ପ୍ରମାଣ: (i) abc ରେ ଗୁଣିଲେ a,b,c (A.P.) ; (ii),(iii) କ୍ରମିକ ଅନ୍ତର a−b = b−c ହେତୁ (∵ 2b=a+c)।
∴ ପ୍ରମାଣିତ।
ପ୍ରମାଣ କର: ୨୩(i). 1/a,1/b,1/c A.P. ଓ a+b+c≠0 ⟹ (b+c)/a,(c+a)/b,(a+b)/c A.P.।
ପ୍ରମାଣ: (b+c)/a = (a+b+c)/a − 1 ; ତେଣୁ ଅନୁକ୍ରମ = (a+b+c)·(1/a,1/b,1/c) − 1, ଯାହା A.P. ର ସ୍ଥିର ଗୁଣନ ଓ ବିୟୋଗ।
∴ ପ୍ରମାଣିତ।
ପ୍ରମାଣ କର: ୨୩(ii). a/(b+c),b/(c+a),c/(a+b) A.P. ⟹ 1/(b+c),1/(c+a),1/(a+b) A.P.।
ପ୍ରମାଣ: ପ୍ରତ୍ୟେକରେ 1 ଯୋଗ କଲେ (a+b+c)/(b+c) ଆଦି A.P. ; (a+b+c) ରେ ଭାଗ କଲେ 1/(b+c),… A.P.।
∴ ପ୍ରମାଣିତ।
ପ୍ରମାଣ କର: ୨୪. A.P. ର ପ୍ରଥମ ପଦ a, ଶେଷ ପଦ l ⟹ ଆରମ୍ଭରୁ r-ତମ + ଶେଷରୁ r-ତମ = a+l।
ପ୍ରମାଣ: ଆରମ୍ଭରୁ r-ତମ = a+(r−1)d ; ଶେଷରୁ r-ତମ = l−(r−1)d ; ଯୋଗ = a+l।
∴ ପ୍ରମାଣିତ।
ପ୍ରମାଣ କର: ୨୫. ପ୍ରଥମ p ପଦ ଯୋଗ r, ପ୍ରଥମ q ପଦ ଯୋଗ s ⟹ r/p − s/q = (p−q)d/2।
ପ୍ରମାଣ: r/p = a+(p−1)d/2, s/q = a+(q−1)d/2 ⟹ r/p − s/q = (p−q)d/2।
∴ ପ୍ରମାଣିତ।
ପ୍ରମାଣ କର: ୨୭. A.P. ର t_p=q, t_q=p ⟹ t_m = p+q−m।
ପ୍ରମାଣ: a+(p−1)d=q, a+(q−1)d=p ⟹ d=−1, a=p+q−1 ⟹ t_m = (p+q−1)+(m−1)(−1) = p+q−m।
∴ ପ୍ରମାଣିତ।
ପ୍ରମାଣ କର: ୨୮. A.P. ର S_m=n, S_n=m ⟹ S_(m+n) = −(m+n)।
ପ୍ରମାଣ: ଦୁଇ ସମୀକରଣ ବିୟୋଗ କରି 2a+(m+n−1)d = −2 ପାଇଲେ, S_(m+n) = (m+n)/2 × (−2) = −(m+n)।
∴ ପ୍ରମାଣିତ।
ପ୍ରଶ୍ନ: (a) 1/(15×16) = ..... − 1/16
ବୁଝାମଣା: 1/(15×16) = 1/15 − 1/16।
ଉତ୍ତର: 1/15
ପ୍ରଶ୍ନ: (b) 1/(12×11) = 1/11 − .....
ବୁଝାମଣା: = 1/11 − 1/12।
ଉତ୍ତର: 1/12
ପ୍ରଶ୍ନ: (c) 1/(n(n+1)) = ..... − 1/(n+1)
ବୁଝାମଣା: = 1/n − 1/(n+1)।
ଉତ୍ତର: 1/n
ପ୍ରଶ୍ନ: (d) 1/((n+1)n) = 1/n − .....
ବୁଝାମଣା: = 1/n − 1/(n+1)।
ଉତ୍ତର: 1/(n+1)
ପ୍ରଶ୍ନ: (e) 5 ଓ 9 ର ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ
ବୁଝାମଣା: (5+9)/2 = 7।
ଉତ୍ତର: 7
ପ୍ରଶ୍ନ: (f) x ଓ 7 ର A.M. 5 ହେଲେ x
ବୁଝାମଣା: (x+7)/2 = 5 ⟹ x = 3।
ଉତ୍ତର: 3
ପ୍ରଶ୍ନ: (g) (a+b) ଓ (a−b) ର A.M.
ବୁଝାମଣା: ((a+b)+(a−b))/2 = a।
ଉତ୍ତର: a
ପ୍ରଶ୍ନ: (h) ଦୁଇ ରାଶିର A.M. 11, ଗୋଟିଏ 7 ⟹ ଅନ୍ୟଟି
ବୁଝାମଣା: (7+x)/2 = 11 ⟹ x = 15।
ଉତ୍ତର: 15
ପ୍ରଶ୍ନ: (a) 1/(1×2)+1/(2×3)+... 20 ପଦ
ବୁଝାମଣା: = 1 − 1/21 = 20/21।
ଉତ୍ତର: 20/21
ପ୍ରଶ୍ନ: (b) 1/(5×6)+1/(6×7)+... 16 ପଦ
ବୁଝାମଣା: = 1/5 − 1/21 = 16/105।
ଉତ୍ତର: 16/105
ପ୍ରଶ୍ନ: (a) 7×15 + 8×20 + 9×25 + ... ର tₙ
ବୁଝାମଣା: (n+6)(5n+10) = 5n²+40n+60।
ଉତ୍ତର: tₙ = 5n²+40n+60
ପ୍ରଶ୍ନ: (b) 6Σn² + 4Σn³ ର ସରଳୀକୃତ ମାନ
ବୁଝାମଣା: n(n+1)(2n+1) + n²(n+1)² = n(n+1)(n²+3n+1)।
ଉତ୍ତର: n(n+1)(n²+3n+1)
ପ୍ରଶ୍ନ: (c) 1×2+2×3+...+n(n+1) ର Sₙ ଓ S₂₀
ବୁଝାମଣା: Sₙ = n(n+1)(n+2)/3 ; S₂₀ = 20×21×22/3 = 3080।
ଉତ୍ତର: Sₙ=n(n+1)(n+2)/3, S₂₀=3080
ପ୍ରଶ୍ନ: (d) 1×3+2×4+3×5+... ର tₙ, Sₙ, S₁₀
ବୁଝାମଣା: tₙ=n²+2n ; Sₙ=n(n+1)(2n+7)/6 ; S₁₀=495।
ଉତ୍ତର: Sₙ=n(n+1)(2n+7)/6, S₁₀=495
ପ୍ରଶ୍ନ: (a) 1·1+2·3+3·5+4·7+...
ବୁଝାମଣା: tₙ=n(2n−1)=2n²−n ⟹ Sₙ = n(n+1)(4n−1)/6।
ଉତ୍ତର: n(n+1)(4n−1)/6
ପ୍ରଶ୍ନ: (b) 1·3+3·5+5·7+7·9+...
ବୁଝାମଣା: tₙ=(2n−1)(2n+1)=4n²−1 ⟹ Sₙ = n(4n²+6n−1)/3।
ଉତ୍ତର: n(4n²+6n−1)/3
ପ୍ରଶ୍ନ: (c) 3·8+6·11+9·14+...
ବୁଝାମଣା: tₙ=3n(3n+5)=9n²+15n ⟹ Sₙ = 3n(n+1)(n+3)।
ଉତ୍ତର: 3n(n+1)(n+3)
ପ୍ରଶ୍ନ: (d) 1+(1+3)+(1+3+5)+...
ବୁଝାମଣା: tₙ = n ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗ = n² ⟹ Sₙ = n(n+1)(2n+1)/6।
ଉତ୍ତର: n(n+1)(2n+1)/6
ପ୍ରଶ୍ନ: (e) 1²+4²+7²+10²+...
ବୁଝାମଣା: tₙ=(3n−2)² ⟹ Sₙ = n(6n²−3n−1)/2।
ଉତ୍ତର: n(6n²−3n−1)/2
ପ୍ରଶ୍ନ: (f) 2²+4²+6²+8²+...
ବୁଝାମଣା: tₙ=(2n)²=4n² ⟹ Sₙ = 2n(n+1)(2n+1)/3।
ଉତ୍ତର: 2n(n+1)(2n+1)/3
ପ୍ରଶ୍ନ: (g) 1+5+12+22+35+...
ବୁଝାମଣା: tₙ = n(3n−1)/2 ⟹ Sₙ = n²(n+1)/2।
ଉତ୍ତର: tₙ=n(3n−1)/2, Sₙ=n²(n+1)/2
ପ୍ରଶ୍ନ: (h) 1²+(1²+2²)+(1²+2²+3²)+...
ବୁଝାମଣା: tₙ=n(n+1)(2n+1)/6 ⟹ Sₙ = n(n+1)²(n+2)/12।
ଉତ୍ତର: n(n+1)²(n+2)/12
ପ୍ରଶ୍ନ: ୫. 15 ଓ 27 ମଧ୍ୟରେ (i) ଗୋଟିଏ (ii) ଦୁଇଟି A.M.
ବୁଝାମଣା: (i) (15+27)/2 = 21 ; (ii) d=4 ⟹ 19, 23।
ଉତ୍ତର: (i) 21 (ii) 19, 23
ପ୍ରଶ୍ନ: ୬. 12 ଓ 36 ମଧ୍ୟରେ (i) ଦୁଇ (ii) ତିନି A.M.
ବୁଝାମଣା: (i) d=8 ⟹ 20,28 ; (ii) d=6 ⟹ 18,24,30।
ଉତ୍ତର: (i) 20,28 (ii) 18,24,30
ପ୍ରଶ୍ନ: ୭. 6 ଓ 46 ମଧ୍ୟରେ (i) ଦୁଇ (ii) ଚାରି A.M.
ବୁଝାମଣା: (i) d=40/3 ⟹ 58/3, 98/3 ; (ii) d=8 ⟹ 14,22,30,38।
ଉତ୍ତର: (i) 58/3,98/3 (ii) 14,22,30,38
ପ୍ରଶ୍ନ: ୮. 5 ଓ 65 ମଧ୍ୟରେ (i) ତିନି (ii) ପାଞ୍ଚ A.M.
ବୁଝାମଣା: (i) d=15 ⟹ 20,35,50 ; (ii) d=10 ⟹ 15,25,35,45,55।
ଉତ୍ତର: (i) 20,35,50 (ii) 15,25,35,45,55
ପ୍ରଶ୍ନ: ୯. 11 ଓ 71 ମଧ୍ୟରେ ପାଞ୍ଚ A.M.
ବୁଝାମଣା: d=10 ⟹ 21,31,41,51,61।
ଉତ୍ତର: 21, 31, 41, 51, 61
ପ୍ରଶ୍ନ: ୧୦. 20 ଓ 80 ମଧ୍ୟରେ n ଗୋଟି A.M., ପ୍ରଥମ:ଶେଷ = 1:3 ⟹ n?
ବୁଝାମଣା: (20+d)/(80−d)=1/3 ⟹ d=5 ; 60/(n+1)=5 ⟹ n=11।
ଉତ୍ତର: n = 11
ପ୍ରଶ୍ନ: ୧୧. ଚାରି ପଦ A.P., ଯୋଗ 2, ପ୍ରାନ୍ତ ଦୁଇର ଗୁଣ = ମଧ୍ୟ ଦୁଇର ଗୁଣର 10 ଗୁଣ।
ବୁଝାମଣା: a−3d,a−d,a+d,a+3d ; 4a=2 ⟹ a=½ ; (¼−9d²)=10(¼−d²) ⟹ d=3/2 ⟹ −4,−1,2,5।
ଉତ୍ତର: −4, −1, 2, 5