ବୀଜଗଣିତ ଅଧ୍ୟାୟ ୨: ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ
Mathematics · Odisha Board Class 10 · ୮ ପ୍ରଶ୍ନ · ୨୫ Quiz
ପ୍ରଶ୍ନ: (i) x²−4x+4=0 ର ମୂଳ ଦ୍ୱୟ ବାସ୍ତବ ଓ ଭିନ୍ନ।
ବୁଝାମଣା: D=16−16=0 ⟹ ମୂଳ ବାସ୍ତବ ଓ ସମାନ (ଭିନ୍ନ ନୁହେଁ)।
ଉତ୍ତର: ଭୁଲ — ମୂଳ ବାସ୍ତବ ଓ ସମାନ
ପ୍ରଶ୍ନ: (ii) x²−5x+6=0 ର ପ୍ରଭେଦକ 2।
ବୁଝାମଣା: D=25−24=1।
ଉତ୍ତର: ଭୁଲ — D = 1
ପ୍ରଶ୍ନ: (iii) ax²+bx−c=0 ର ମୂଳ ଦ୍ୱୟର ସମଷ୍ଟି c/a।
ବୁଝାମଣା: ସମଷ୍ଟି = −b/a।
ଉତ୍ତର: ଭୁଲ — ସମଷ୍ଟି = −b/a
ପ୍ରଶ୍ନ: (iv) ax²+bx+c=0 ର ମୂଳ ଦ୍ୱୟର ଗୁଣଫଳ b/a।
ବୁଝାମଣା: ଗୁଣଫଳ = c/a।
ଉତ୍ତର: ଭୁଲ — ଗୁଣଫଳ = c/a
ପ୍ରଶ୍ନ: (v) 1 ଓ −1 ମୂଳ ବିଶିଷ୍ଟ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ x²+1=0।
ବୁଝାମଣା: x²−(1−1)x+(1)(−1)=x²−1=0।
ଉତ୍ତର: ଭୁଲ — x²−1=0
ପ୍ରଶ୍ନ: (vi) x²=0 ର ମୂଳ ସମାନ ନୁହେଁ।
ବୁଝାମଣା: x=0, 0 ⟹ ମୂଳ ସମାନ।
ଉତ୍ତର: ଭୁଲ — ମୂଳ ସମାନ
ପ୍ରଶ୍ନ: (vii) 3x²−2x−1=0 ର ମୂଳର ସମଷ୍ଟି −3/2।
ବୁଝାମଣା: ସମଷ୍ଟି = −b/a = 2/3।
ଉତ୍ତର: ଭୁଲ — ସମଷ୍ଟି = 2/3
ପ୍ରଶ୍ନ: (viii) 3x²−2x−1=0 ର ମୂଳର ଗୁଣଫଳ 1/3।
ବୁଝାମଣା: ଗୁଣଫଳ = c/a = −1/3।
ଉତ୍ତର: ଭୁଲ — ଗୁଣଫଳ = −1/3
ପ୍ରଶ୍ନ: (i) ମୂଳ 3 ଓ −5 ⟹ ସମୀକରଣ?
ବୁଝାମଣା: x²−(3−5)x+(3×−5) = x²+2x−15 = 0।
ଉତ୍ତର: x²+2x−15=0
ପ୍ରଶ୍ନ: (ii) mx²−2x+(2m−1)=0 ର ମୂଳ ଗୁଣଫଳ 3 ⟹ m?
ବୁଝାମଣା: (2m−1)/m=3 ⟹ 2m−1=3m ⟹ m=−1।
ଉତ୍ତର: m = −1
ପ୍ରଶ୍ନ: (iii) x²−px+2=0 ର ଗୋଟିଏ ମୂଳ 2 ⟹ p?
ବୁଝାମଣା: 4−2p+2=0 ⟹ p=3।
ଉତ୍ତର: p = 3
ପ୍ରଶ୍ନ: (iv) 4x²−2x+c=0 ର ମୂଳ ସମାନ ⟹ c?
ବୁଝାମଣା: D=0 ⟹ 4−16c=0 ⟹ c=1/4।
ଉତ୍ତର: c = 1/4
ପ୍ରଶ୍ନ: (v) 5x²+2x+k=0 ର ଗୋଟିଏ ମୂଳ −2 ⟹ k?
ବୁଝାମଣା: 20−4+k=0 ⟹ k=−16।
ଉତ୍ତର: k = −16
ପ୍ରଶ୍ନ: (vi) x²−kx+6=0 ର ଗୋଟିଏ ମୂଳ 3 ⟹ k?
ବୁଝାମଣା: 9−3k+6=0 ⟹ k=5।
ଉତ୍ତର: k = 5
ପ୍ରଶ୍ନ: (vii) 2x²+kx+3=0 ର ମୂଳ ବାସ୍ତବ ଓ ସମାନ ⟹ k?
ବୁଝାମଣା: D=0 ⟹ k²=24 ⟹ k=±2√6।
ଉତ୍ତର: k = ±2√6
ପ୍ରଶ୍ନ: (i) କେଉଁଟି x ରେ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ?
ବୁଝାମଣା: (a) x²−x−12=0 ✓ ; (b),(c) ପଲିନୋମିଆଲ ନୁହେଁ ; (d) ତ୍ରିଘାତ।
ଉତ୍ତର: (a) x²−x−12=0
ପ୍ରଶ୍ନ: (ii) 7x²−9x+2=0 ର ମୂଳର ସ୍ୱରୂପ?
ବୁଝାମଣା: D=81−56=25>0 (ପୂର୍ଣ୍ଣବର୍ଗ) ⟹ ବାସ୍ତବ ଓ ପୃଥକ୍।
ଉତ୍ତର: (a) ବାସ୍ତବ ଓ ପୃଥକ୍
ପ୍ରଶ୍ନ: (iii) −6 ଓ 8 ମୂଳ ବିଶିଷ୍ଟ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ?
ବୁଝାମଣା: ମୂଳ −6, 8 ⟹ (x+6)(x−8)=0।
ଉତ୍ତର: (b) (x+6)(x−8)=0
ପ୍ରଶ୍ନ: (iv) 3x²+2√5x−5=0 ର αβ?
ବୁଝାମଣା: αβ = c/a = −5/3।
ଉତ୍ତର: (d) −5/3
ପ୍ରଶ୍ନ: (i) ସଂଖ୍ୟା ଓ ବ୍ୟୁତ୍କ୍ରମର ସମଷ୍ଟି 2 (x ନେଇ)
ବୁଝାମଣା: x+1/x=2 ⟹ x²+1=2x ⟹ x²−2x+1=0।
ଉତ୍ତର: x²−2x+1=0
ପ୍ରଶ୍ନ: (ii) ଦୁଇ କ୍ରମିକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ 20 (y ନେଇ)
ବୁଝାମଣା: y(y+1)=20 ⟹ y²+y−20=0।
ଉତ୍ତର: y²+y−20=0
ପ୍ରଶ୍ନ: (iii) ଦୁଇ ସଂଖ୍ୟାର ସମଷ୍ଟି 18, ଗୁଣଫଳ 72 (x ନେଇ)
ବୁଝାମଣା: x(18−x)=72 ⟹ x²−18x+72=0।
ଉତ୍ତର: x²−18x+72=0
ପ୍ରଶ୍ନ: (iv) କୌଣସି ସଂଖ୍ୟା ତାହାର ବର୍ଗ ସମାନ ⟹ ସଂଖ୍ୟା?
ବୁଝାମଣା: x=x² ⟹ x²−x=0 ⟹ x=0 ବା 1।
ଉତ୍ତର: 0 ବା 1
ପ୍ରଶ୍ନ: (v) S = n(n+1)/2 = 120 ⟹ n?
ବୁଝାମଣା: n²+n−240=0 ⟹ (n+16)(n−15)=0 ⟹ n=15।
ଉତ୍ତର: n=15
ପ୍ରଶ୍ନ: (vi) √x + x = 6 ⟹ ଦ୍ୱିଘାତ ରୂପ
ବୁଝାମଣା: √x=6−x ⟹ ବର୍ଗ କରି x²−13x+36=0।
ଉତ୍ତର: x²−13x+36=0
ପ୍ରଶ୍ନ: (vii) √(x+9)+3 = x ⟹ ଦ୍ୱିଘାତ ରୂପ
ବୁଝାମଣା: √(x+9)=x−3 ⟹ ବର୍ଗ କରି x²−7x=0।
ଉତ୍ତର: x²−7x=0
ପ୍ରଶ୍ନ: (viii) x − 2√x − 6 = 0 ⟹ ଦ୍ୱିଘାତ ରୂପ
ବୁଝାମଣା: √x=y ଧରି ⟹ y²−2y−6=0।
ଉତ୍ତର: y²−2y−6=0 (√x=y)
ପ୍ରଶ୍ନ: (i) ଧନାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା = ତାହାର ବର୍ଗମୂଳ + 12 ⟹ ସଂଖ୍ୟା?
ବୁଝାମଣା: x−12=√x ⟹ x²−25x+144=0 ⟹ x=16 (ଯାଞ୍ଚରେ 16 ଠିକ୍)।
ଉତ୍ତର: 16
ପ୍ରଶ୍ନ: (ii) ସଂଖ୍ୟା ଓ ବ୍ୟୁତ୍କ୍ରମର ସମଷ୍ଟି 41/20
ବୁଝାମଣା: 20x²−41x+20=0 ⟹ (5x−4)(4x−5)=0 ⟹ x=4/5 ବା 5/4।
ଉତ୍ତର: 4/5 ବା 5/4
ପ୍ରଶ୍ନ: (iii) ଦୁଇ କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟାର ବ୍ୟୁତ୍କ୍ରମ ଯୋଗ 11/30
ବୁଝାମଣା: 11n²−49n−30=0 ⟹ (11n+6)(n−5)=0 ⟹ n=5 ⟹ 5,6।
ଉତ୍ତର: 5, 6
ପ୍ରଶ୍ନ: (iv) ଦୁଇ କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟାର ବ୍ୟୁତ୍କ୍ରମ ଯୋଗ 23/132
ବୁଝାମଣା: 23n²−241n−132=0 ⟹ n=11 ⟹ 11,12।
ଉତ୍ତର: 11, 12
ପ୍ରଶ୍ନ: (v) 51 କୁ ଦୁଇ ଭାଗ, ଗୁଣଫଳ 378
ବୁଝାମଣା: x²−51x+378=0 ⟹ x=42 ବା 9।
ଉତ୍ତର: 42 ଓ 9
ପ୍ରଶ୍ନ: ପ୍ରଶ୍ନ ୩: ଦୁଇ ଅଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା = ଅଙ୍କ ଗୁଣଫଳର 3 ଗୁଣ; ଏକକ ଅଙ୍କ ଦଶକଠାରୁ 2 ବଡ଼।
ବୁଝାମଣା: a ଦଶକ, b=a+2 ; 11a+2=3a(a+2) ⟹ 3a²−5a−2=0 ⟹ a=2, b=4 ⟹ 24।
ଉତ୍ତର: 24
ପ୍ରଶ୍ନ: ପ୍ରଶ୍ନ ୪: ଆଲ୍ଫାର ବୟସ = ବିଟା × ଗାମା; ବିଟା ଗାମାଠାରୁ 1 ବଡ଼, ଆଲ୍ଫା=42 ⟹ 5 ବର୍ଷ ପରେ ବିଟାର ବୟସ?
ବୁଝାମଣା: g(g+1)=42 ⟹ g=6, ବିଟା=7 ⟹ 5 ବର୍ଷ ପରେ 12।
ଉତ୍ତର: 12 ବର୍ଷ
ପ୍ରଶ୍ନ: ୫. ମର୍କଟ: (ମୋଟ/8)² ଖେଳୁଛନ୍ତି, ବାକି 12 ଡାଳରେ ⟹ ମୋଟ?
ବୁଝାମଣା: (n/8)²+12=n ⟹ n²−64n+768=0 ⟹ n=16 ବା 48।
ଉତ୍ତର: 16 ବା 48
ପ୍ରଶ୍ନ: ୬. ତ୍ରିଭୁଜ କ୍ଷେ 30, ଉଚ୍ଚତା ଭୂମିଠାରୁ 7 ଅଧିକ ⟹ ଭୂମି?
ବୁଝାମଣା: ½·b(b+7)=30 ⟹ b²+7b−60=0 ⟹ b=5।
ଉତ୍ତର: ଭୂମି 5 ସେ.ମି.
ପ୍ରଶ୍ନ: ୭. ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ, ବାହୁ 5x ଓ (3x−1), କ୍ଷେ 60 ⟹ ବାହୁ?
ବୁଝାମଣା: ½·5x(3x−1)=60 ⟹ 3x²−x−24=0 ⟹ x=3 ⟹ 15, 8।
ଉତ୍ତର: 15 ସେ.ମି. ଓ 8 ସେ.ମି.
ପ୍ରଶ୍ନ: ୮. n ବାହୁ ବହୁଭୁଜ କର୍ଣ୍ଣ = ½n(n−3); 54 କର୍ଣ୍ଣ ⟹ n?
ବୁଝାମଣା: n²−3n−108=0 ⟹ (n−12)(n+9)=0 ⟹ n=12।
ଉତ୍ତର: 12
ପ୍ରଶ୍ନ: ୯. ଦୁଇ ବର୍ଗର କ୍ଷେ ଯୋଗ 468, ପରିସୀମା ଅନ୍ତର 24 ⟹ ବାହୁ?
ବୁଝାମଣା: a−b=6, a²+b²=468 ⟹ b²+6b−216=0 ⟹ b=12, a=18।
ଉତ୍ତର: 18 ମି. ଓ 12 ମି.
ପ୍ରଶ୍ନ: ୧୦. ବେଗ 1 କିମି/ଘ ବଢ଼ିଲେ 2 କିମି 10 ମିନିଟ୍ କମ୍ ⟹ ବେଗ?
ବୁଝାମଣା: 2/x−2/(x+1)=1/6 ⟹ x²+x−12=0 ⟹ x=3।
ଉତ୍ତର: 3 କିମି/ଘ
ପ୍ରଶ୍ନ: ୧୧. ନୌକା ବେଗ 15 କିମି/ଘ; 30 କିମି ପ୍ରତିକୂଳ + ଫେରି 4 ଘ 30 ମି ⟹ ସ୍ରୋତ ବେଗ?
ବୁଝାମଣା: 30/(15−x)+30/(15+x)=9/2 ⟹ 225−x²=200 ⟹ x=5।
ଉତ୍ତର: 5 କିମି/ଘ
ପ୍ରଶ୍ନ: ୧୨. ₹250 ସମାନ ଭାଗ; 25 ଅଧିକ ଛାତ୍ର ⟹ ପ୍ରତ୍ୟେକ ₹0.50 କମ୍ ⟹ ଛାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା?
ବୁଝାମଣା: 250/n−250/(n+25)=0.5 ⟹ n²+25n−12500=0 ⟹ n=100।
ଉତ୍ତର: 100
ପ୍ରଶ୍ନ: ୧୩. ଆୟତ: ଦୈର୍ଘ୍ୟ ପ୍ରସ୍ଥଠାରୁ 8 ଅଧିକ, କ୍ଷେ 240 ⟹ ପରିସୀମା?
ବୁଝାମଣା: b(b+8)=240 ⟹ b=12, l=20 ⟹ ପରିସୀମା=2(32)=64।
ଉତ୍ତର: 64 ମି.
ପ୍ରଶ୍ନ: ୧୪. ରେଳ 300 କିମି; ବେଗ 5 ଅଧିକ ⟹ 2 ଘ କମ୍ ⟹ ବେଗ?
ବୁଝାମଣା: 300/x−300/(x+5)=2 ⟹ x²+5x−750=0 ⟹ x=25।
ଉତ୍ତର: 25 କିମି/ଘ
ପ୍ରଶ୍ନ: ୧୫. ପଡ଼ିଆ 25×16 ମି, ଚତୁଃପାର୍ଶ୍ୱ ରାସ୍ତା କ୍ଷେ 230 ⟹ ରାସ୍ତାର ଚଉଡ଼ା?
ବୁଝାମଣା: (25+2x)(16+2x)−400=230 ⟹ 2x²+41x−115=0 ⟹ x=2.5।
ଉତ୍ତର: 2.5 ମି.